Diese Aufgaben führen Sie kreuz und quer durch die Themen des Buches. Im Lösungsteil finden Sie jeweils Hinweise, welches Kapitel Sie einmal näher in Augenschein nehmen sollten, wenn Sie mit einem bestimmten Aufgabenteil noch nicht so gut zurechtkommen.
Und wenn Sie bei allen Aufgaben glatt durchgekommen sind?
Arbeiten Sie einmal die Abschnitte über Polarkoordinaten in den Kapiteln 3, 9 und 11 durch. Vielleicht kann ich Ihnen da noch etwas Neues bieten.
Auch das beherrschen Sie schon?
Danke, dass Sie das Buch gekauft haben. Bitte verschenken Sie es jetzt an jemanden, der es nötiger braucht als Sie;–)
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d‐nb.de abrufbar.
1. Auflage 2015
© 2015 WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
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Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.
Korrektur: Wilhelm Kulisch
Umschlaggestaltung: Torge Stoffers Graphik‐Design, Leipzig
Satz: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza
Print ISBN: 978‐3‐527‐53020‐5
ePub ISBN: 978‐3‐527‐69796‐0
mobi ISBN: 978‐3‐527‐69795‐3
Christoph Maas hat Mathematik und Informatik studiert und in Mathematik das Diplom erworben, promoviert und sich habilitiert. Nach Stationen an der University of Kentucky und der Fachhochschule Darmstadt ist er jetzt schon seit etlichen Jahren Mathematikprofessor an der Hochschule für Angewandte Wissenschaften in Hamburg. Bei Wiley‐VCH erschien auch sein Buch ‚Stochastik für Dummies‘.
Ich danke meinem Lektor Marcel Ferner für die Anregung zu diesem Buch und dem gesamten Team bei Wiley‐VCH für die ausgezeichnete Betreuung des Projekts. Mein Kollege Boris Tolg hat das ganze Werk einmal gründlich durchgesehen. Danke, Boris! (Alles, was jetzt noch an Fehlern da ist, geht natürlich trotzdem voll auf meine Kappe.)
Die Rechnungen und Zeichnungen wurden mit dem Computeralgebrasystem Maple® erarbeitet. Ich danke der Firma Maplesoft Inc. für die Bereitstellung der Software.
Christoph Maas
Darf ich raten? Sie müssen demnächst eine Prüfung in Analysis absolvieren und wollen jetzt wissen, was dieses Buch dabei für Sie tun kann.
„Sag mir nur, was ich wissen muss“, ist das Motto der „Schnellkurs“‐Reihe. Dementsprechend finden Sie hier die grundlegenden Gedanken und Rechenmethoden der Analysis und diejenigen Anwendungen, die bei ersten Prüfungen auf Hochschulniveau üblicherweise angesprochen werden. In jedem Kapitel wird der Stoff weitestgehend abgeschlossen präsentiert. Wenn nötig, finden Sie präzise Hinweise, wo Sie bestimmte Vorinformationen nachlesen können.
Trotzdem haben Sie aber hier keine Rezeptliste oder Formelsammlung vor sich, sondern ein Lehrbuch. Der Inhalt wird in jeweils zusammenhängenden Gedankengängen vorgestellt. Übersichten am Anfang und am Ende eines Kapitels geben dem Stoff eine Struktur. Beispiele und Übungsaufgaben mit Rechengängen helfen Ihnen über die Hürde vom Lesen zum Selbermachen.
Den Unterschied zwischen einer bloßen Ansammlung von Lerninhalten und einer Präsentation im Zusammenhang können Sie schon bei einem kleinen Gedankenexperiment deutlich spüren:
Nur wenige Menschen schaffen es, sich eine sinnfreie Buchstabenfolge wie D‐D‐S‐G‐K‐M‐H‐W‐V‐K zu merken, und auch von denen kann sich niemand nach längerer Zeit noch zuverlässig daran erinnern. Wenn ich Ihnen aber sage, dass diese Buchstaben in dem Wort DonauDampfSchifffahrtsGesellschaftsKapitänsMützenHerstellerWitwenVersorgungsKasse vorkommen, werden Sie sich die Folge immer wieder ins Gedächtnis rufen können – lange Zeit, nachdem Sie dieses Buch aus der Hand gelegt haben (nach einer erfolgreichen Analysis‐Prüfung, wie ich hoffe).
… finden Sie mit hoher Wahrscheinlichkeit in den Kapiteln dieses Buches. Sie machen also nichts falsch, wenn Sie es von vorn bis hinten durcharbeiten.
Vielleicht haben Sie aber auch schon einige Vorkenntnisse, die Sie jetzt nicht noch einmal durchkauen möchten. Eventuell können Sie darüber hinaus einige Themen als Prüfungsstoff ausschließen. Deshalb gebe ich Ihnen hier einen Überblick über die Inhalte der einzelnen Kapitel. Dann können Sie selber entscheiden, wo Sie einsteigen möchten.
Durch den Eingangstest am Anfang des Buches bekommen Sie auch noch ein paar Hinweise, an welchen Stellen sich ein näherer Blick auf den Stoff für Sie besonders lohnen könnte.
Über Funktionen haben Sie in der Schule schon mehrere Jahre lang etwas gehört. So hoffe ich sehr, dass möglichst viel von dem, was Sie in diesem Kapitel finden, für Sie ein „alter Hut“ ist. Nehmen Sie sich, was Sie brauchen, und überblättern Sie den Rest.
An dieser Stelle begegnen Sie zum ersten Mal der typischen Denkweise der Analysis. Der Grenzwert ist ihr grundlegender Begriff. Ableitungen und (bestimmte) Integrale sind Grenzwerte. Bei Grenzwertberechnungen versuchen Sie etwas über das Verhalten eines Rechenausdrucks bei einem bestimmten x‐Wert dadurch herauszubekommen, dass Sie in der näheren Umgebung dieses Wertes auf die Suche gehen. Stetigkeit bedeutet, dass Sie den Grenzwert eines Rechenausdrucks durch simples Einsetzen des fraglichen x‐Werts bestimmen können. Bei der Grenzwertberechnung geht es darum, einen Ausdruck so lange umzuformen, bis er seinen Grenzwert durch Einsetzen preisgibt.
Wenn Sie die Denkweise dieses Kapitels verstanden haben, dann haben Sie eine wichtige Hürde gemeistert: Ableitungen und Integrale werden dann für Sie nicht einfach nur Zahlen oder Formeln sein, die Sie ausrechnen, sondern Stockwerke eines sinnvollen Gedankengebäudes. In diesem Zustand können Sie sich den Stoff viel besser merken und später, wenn Anwendungen in anderen Fächern gefragt sind, kompetent einsetzen.
Sie sind es gewohnt, dass die Zuordnungsvorschrift einer Funktion in der Form angegeben wird. Tatsächlich gibt es auch noch andere Darstellungsweisen, die in bestimmten Situationen deutliche Vorteile bieten. Wenn sie in Ihrem jetzigen Kurs nicht vorkommen, können Sie dieses Kapitel (und ebenso Kapitel 7) erst einmal auslassen. Sobald Ihnen diese Dinge dann im weiteren Verlauf Ihres Studiums begegnen (und falls Sie sich mit Physik oder Technik beschäftigen, werden sie Ihnen begegnen!), wissen Sie ja, wo Sie sich Rat holen können.
Hier schlägt das Herz der Analysis! Die Ableitung ist der zentrale Begriff der Differenzialrechnung schlechthin. In diesem Kapitel geht es erst einmal darum, wie für die Funktionen, die sich aus dem Bestand von Kapitel 1 formulieren lassen, Ableitungen berechnet werden. Ich stelle Ihnen neun Regeln vor, die für all diese Fälle ausreichen.
Das Auffinden von Minima, Maxima und Wendepunkten einer vorgelegten Funktion fehlt wohl bei keiner Analysis‐Prüfung. Hier bereiten Sie sich auf diese klassischen Aufgabenstellungen vor.
Die Regel von l’Hospital ist auch ein häufiger Prüfungsstoff. Taylorreihen und Newton‐Verfahren gehören spätestens dann zur Grundausrüstung, wenn Sie daran gehen, Mathematik ernsthaft auf Ingenieurprobleme anzuwenden.
Hier habe ich die Ableitungsberechnungen zu den Funktionen aus Kapitel 3 ausgegliedert.
Es hört sich ganz harmlos an: Statt von einer vorgelegten Funktion die Ableitung zu berechnen, sollen Sie jetzt einmal umgekehrt herausfinden, von welcher Funktion sie denn wohl die Ableitung ist. Diese Funktion wird dann als Stammfunktion bezeichnet. Tatsächlich aber ist diese Aufgabenstellung viel vertrackter als ihre Gegenrichtung. Es gibt keine umfassenden Regeln, mit denen Sie sämtliche denkbaren Aufgaben schnurstracks durchrechnen können. Mit genügend Übung und Erfahrung aus Kapitel 4 können Sie immerhin eine Ahnung entwickeln, in welcher Richtung die Lösung wohl zu finden sein wird. Zwei Regeln helfen Ihnen dann, die vorgegebene Funktion so lange „weichzukochen“, bis Sie durch Ihre Vorkenntnisse oder durch eine Formelsammlung den entscheidenden Schritt zum Ergebnis tun können.
Ein breites Spektrum von Problemen lässt sich dadurch lösen, dass zu einer vorgegebenen Funktion eine Stammfunktion bestimmt wird und anschließend zwei Werte dieser Stammfunktion voneinander abgezogen werden. Die bekannteste – aber eben bei weitem nicht einzige – Aufgabenstellung ist die Frage nach der Größe der Fläche, die eine Funktionskurve mit der X‐Achse einschließt. Ich stelle Ihnen in diesem Kapitel diese und drei weitere geometrische Aufgaben vor, nach denen in Prüfungen oft gefragt wird. Weiterhin lernen Sie zwei Näherungsformeln kennen, mit denen Sie solche Rechnungen angehen können, wenn Sie, aus welchem Grund auch immer, keine Stammfunktion zur Hand haben.
Viele Anwendungsfächer (beispielsweise Physik oder Elektrotechnik) brauchen Funktionen, die von mehr als einer Variablen gesteuert werden. Funktionen mit zwei Variablen spielen dabei für das Lernen eine besondere Rolle: Sie haben viele Eigenschaften, die auch für Funktionen mit noch mehr Variablen typisch sind, können aber im Gegensatz zu ihnen auch noch anschaulich dargestellt werden.
Das Berechnen von Tangentengleichungen, das Auffinden von Extremstellen und das Auswerten von bestimmten Integralen sind Aufgabenstellungen, die auch bei Funktionen mit mehreren Variablen eine wichtige Rolle spielen. Sie erfahren in diesem Kapitel, wie Sie dafür die Ansätze benutzen können, die Sie aus dem Umgang mit Funktionen mit einer Variablen kennen.
Im Schnellgang durch den Schnellkurs
Wenn die Prüfungsvorbereitung ganz besonders schnell gehen soll, machen Sie aus diesem Buch einen „Erste‐Hilfe‐Kasten“, indem Sie die folgenden Themen durcharbeiten:
Analysis ist Prüfungsstoff in einer Vielzahl von Ausbildungs‐ und Studiengängen. Aber in erster Linie stelle ich Sie mir so vor, dass Sie ein Ingenieurfach studieren – oder etwas im näheren Umfeld davon, wie beispielsweise Wirtschaftsingenieurwesen oder Technische Informatik. Sie wollen daher vor allem das Rechnen mit Ableitungen und Integralen beherrschen, und Sie haben in erster Linie technische Fragestellungen vor Augen, bei denen diese Fertigkeiten von Ihnen dann wieder abverlangt werden.
Sie sollten eine Vorstellung davon haben, was der Unterschied zwischen den natürlichen, den ganzen, den rationalen und den reellen Zahlen ist. Beim Rechnen mit reellen Zahlen kann eine Auffrischung beim Bruchrechnen, Rechnen mit Potenzen und bei den binomischen Formeln erfahrungsgemäß nichts schaden. Weiterhin setze ich voraus, dass Sie Geradengleichungen in der Zweipunktform und in der Punkt‐Steigungsform kennen.
Beim Grundwissen über Funktionen setze ich in Kapitel 1 ziemlich weit vorne an. Aber wenn Sie in dieser Hinsicht schon Kenntnisse vorweisen oder wiederbeleben können, sparen Sie natürlich Zeit und können schneller zum Kern der Analysis vorstoßen.
Für den Umgang mit Funktionen mit mehreren Variablen müssen Sie sich schon ganz gut mit der Vektor‐ und Matrizenrechnung auskennen. In der Regel wird dieses Gebiet aber unterrichtet, während Sie sich mit der Analysis mit einer Variablen beschäftigen, sodass Sie dann die nötigen Vorkenntnisse haben, wenn es in Ihrem Analysis‐Kurs an den Stoff aus Teil IV geht.
Wenn Sie dieses Buch durchgearbeitet haben, …
Einige Stellen im Buch werden Ihnen besonders ins Auge fallen. Das sind zunächst einmal einzelne Wörter, die ich fett oder kursiv geschrieben habe.
Vor allem aber dürften die Einschübe Ihre Aufmerksamkeit auf sich ziehen:
Hier finden Sie Beispiele zu den jeweils direkt davor vorgestellten Sachverhalten. Sie sind vollständig durchgerechnet und auf den Standardfall ausgerichtet – also ohne besondere Komplikationen oder zusätzliche Überlegungen.
Diese Tipps helfen Ihnen, das Gelernte noch wirkungsvoller anzuwenden.
Mitunter möchte ich Sie auch vor naheliegenden Missverständnissen oder Denkfallen warnen. Dann begegnet Ihnen dieser Einschub.
Aber nun ist es auch genug mit der Vorrede. Wenn ich Sie überzeugt habe, dass Sie ein nützliches Buch in Händen halten, dann legen Sie einfach los und steigen Sie in die Analysis ein. Ich wünsche Ihnen dabei viel Erfolg und viel Spaß! (Gehört unbedingt dazu – ohne ihn klappt das Lernen nämlich überhaupt nicht.)
Christoph Maas