Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d‐nb.de abrufbar.
2., korrigierte Auflage 2017
© 2017 WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
Original English language edition © 2005 by Wiley Publishing, Inc.
All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.
Copyright der englischsprachigen Originalausgabe © 2005 by Wiley Publishing, Inc.
Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.
Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.
Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies‐Mann‐Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.
Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.
Coverfoto: Vextok/Shutterstock
Korrektur: Frauke Wilkens, Petra Heubach‐Erdmann und Jürgen Erdmann
E-Book: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza
Print ISBN: 978‐3‐527‐71155‐0
Deborah Rumsey erwarb einen Doktortitel in Statistik an der Ohio State University (1993). Nach ihrer Promotion wechselte sie zum Department of Statistics der Kansas State University, wo sie den renommierten Presidential Teaching Award gewann. Im Jahr 2000 kehrte sie an die Ohio State University zurück und ist heute Mitglied des Department of Statistics. Dr. Rumsey war Mitglied des Statistics Education Executive Committee der American Statistical Association und Lektorin der Teaching‐Bits‐Rubrik des Journal of Statistics Education.
Sie ist Autorin der Bücher Statistik für Dummies und Wahrscheinlichkeitsrechnung für Dummies (erschienen bei Wiley‐VCH). Außerdem hat sie zahlreiche Aufsätze zur Statistik‐Ausbildung veröffentlicht und viele einschlägige Vorträge gehalten. Ihre Forschungsinteressen liegen auf der Lehrplanentwicklung, der Weiterbildung und Unterstützung von Lehrern und auf immersiven Lernumgebungen. Ihre anderen Leidenschaften sind ihre Familie, das Angeln, die Beobachtung von Vögeln, das Fahren eines neuen Kubota‐Traktors auf dem »Familienbauernhof« und Ohio State Buckeye Football (nicht unbedingt in dieser Reihenfolge).
Felix Brosius hat an der Universität Hamburg als Mitarbeiter am Institut für Finanzwissenschaft über die Spieltheoretische Analyse des Internationalen Steuerwettbewerbs promoviert (2002). Anschließend war er zunächst als Spezialist für Database Marketing und später als Vorstandsassistent im Buchclub der Bertelsmann AG tätig. Seit 2005 ist er bei Kabel Deutschland im Marketing für das CRM, Database Marketing, Onlinemarketing und Kooperationsmarketing verantwortlich. Felix Brosius ist Autor zahlreicher Lehrbücher insbesondere zur Programmierung und statistischen Datenanalyse mit SPSS (unter anderem hat er SPSS für Dummies geschrieben) und hat mehrere Artikel zum Customer Relationship Management veröffentlicht.
Vielleicht besuchen Sie gerade eine Statistik‐Vorlesung an der Uni oder haben dies demnächst vor. Möglicherweise haben Sie auch schon ein Grundverständnis von den wesentlichen Konzepten der Statistik und möchten nur noch einige Lücken schließen oder mehr Sicherheit im Umgang mit statistischen Fragestellungen gewinnen. Oder Sie bereiten sich gerade auf eine Prüfung oder Abschlussklausur in Statistik vor und wollen einfach nur üben, üben und vor allem üben. Wenn das so ist, dann haben Sie Glück, denn Sie halten gerade genau das richtige Buch in der Hand, das Übungsbuch Statistik für Dummies.
Ziel dieses Übungsbuches ist es in erster Linie, Sie im Umgang mit der Statistik vertraut und sicher zu machen. Anhand einer Vielzahl von Übungsaufgaben zu den unterschiedlichsten Themengebieten und Fragestellungen der einführenden Statistik werden Sie die Ihnen bereits bekannten Konzepte wiederholen und in den unterschiedlichsten Varianten und Ausprägungen in praktischen Übungen anwenden. Kleine Tipps und Tricks sollen Ihnen dabei helfen, Aufgabenstellungen richtig zu verstehen und schnell und effizient zu bearbeiten. Dabei beschränkt sich das Buch auf die wichtigsten Konzepte und legt einen klaren Schwerpunkt auf Übungsaufgaben, wie sie typisch auch in Prüfungen und Klausuren gestellt werden. Wenn Sie die Aufgaben in diesem Buch beherrschen und den Kern der Fragestellungen verstanden haben, sollten Sie in einer Prüfung oder Klausur keine bösen Überraschungen erleben.
Wie sagen doch unsere altklugen Eltern so schön? »Probieren geht über Studieren.« Und auch wenn wir es nicht gerne zugeben: Sie haben recht – zumindest manchmal. Deshalb soll Ihnen dieses Arbeitsbuch die Gelegenheit geben, die Ärmel hochzukrempeln und richtig tief in die Statistik einzutauchen. An einer Vielzahl von praktischen Übungen können Sie sich hoffentlich bis zur Erschöpfung austoben. Die Zielsetzung ist es dabei, das Verständnis für die Zusammenhänge in der Statistik zu schärfen und deren Anwendung in ganz konkreten Aufgaben zu schulen. Die inhaltlich und formal korrekte Lösung von statistischen Aufgaben soll Ihnen dabei in Fleisch und Blut übergehen. Der Umgang mit einfachen Wahrscheinlichkeiten wird anschließend ein Kinderspiel für Sie sein; aber auch anspruchsvollere statistische Konzepte wie den zentralen Grenzwertsatz und p‐Werte werden Sie beherrschen wie das kleine Einmaleins. Dabei sollen die Übungen auch verdeutlichen, welches statistische Konzept für welche Fragestellung heranzuziehen ist (zum Beispiel welche Art von Konfidenzintervall Sie für die Lösung einer bestimmten Aufgabe berechnen sollten) und wie wissenschaftliche Studien, Umfragen und Experimente richtig einzuschätzen und auszuwerten sind.
Dieses Übungsbuch ist entstanden als Ergänzung zu dem Buch Statistik für Dummies. Dies bedeutet aber nicht, dass Sie Statistik für Dummies gelesen haben müssen, um dieses Übungsbuch sinnvoll verwenden zu können. Vielmehr sollte dieses Buch vollkommen unabhängig davon, wie und wo Sie Ihre ersten Erkenntnisse in Statistik erworben haben, ein begleitendes Einführungs‐ und Übungsbuch eines typischen Statistik‐Grundkurses sein.
Was Sie von diesem Buch erwarten können, ist grob zusammengefasst nicht mehr und nicht weniger als:
Jede Menge Probleme: Und zwar typische Probleme und Aufgabenstellungen, wie sie in der wissenschaftlichen Praxis und vor allem auch in Prüfungen und Klausuren von Statistik‐Kursen vorkommen. Zu jeder Aufgabenstellung finden Sie natürlich auch eine Lösung.
Keine einfachen Antworten: Die Lösungen zu den Übungsaufgaben beschränken sich nicht auf einfache Antworten, sondern versuchen stets zu erläutern, warum gerade dieser und nicht ein anderer Lösungsweg richtig ist, damit Sie auch, wenn Ihnen künftig leicht anders geartete Aufgabenstellungen begegnen, auf Anhieb den richtigen Lösungsweg finden werden.
Ein Blick in die Trickkiste: Häufig besteht die größte Schwierigkeit bei der Lösung von Statistik‐Aufgaben darin, die Aufgabenstellung richtig zu verstehen. Dabei arbeiten manche Prüfer auch noch mit fiesen Tricks, weshalb man ganz genau auf die Formulierung der Fragestellungen achten muss. Die häufigsten Tricks und gemeinsten Fallstricke finden Sie auch in den Übungen in diesem Buch. Wenn Sie darüber stolpern, sollten Sie mit einem Lächeln wieder aufstehen und sich freuen, dass es Ihnen bei der Übung und nicht im Ernstfall passiert ist.
Ein Beispiel für jedes Thema: Jedes Thema in diesem Buch wird mit einem Übungsbeispiel und einer Musterlösung abgeschlossen. Dies soll die Herangehensweise verdeutlichen, an der Sie sich orientieren können, wenn Sie sich selbst an den Übungsaufgaben versuchen.
Strategien zur Problemlösung: Nähere Erläuterungen zu den Übungen und Hintergründen sollen Ihnen zeigen, wie Sie vorgehen können, um den richtigen Lösungsweg zu finden, wenn dieser nicht auf den ersten Blick offensichtlich ist.
Modularer Aufbau: Jedes Thema in diesem Buch wird als geschlossene Einheit behandelt. Wenn Sie ein bestimmtes Kapitel lesen, wird nicht vorausgesetzt, dass Sie die vorhergehenden Kapitel bereits kennen. Sie können daher in dem Buch hin und her springen, wie Sie möchten, und direkt mit dem für Sie relevantesten Thema einsteigen.
Eine verständliche Sprache: Eine leicht verständliche Sprache soll dabei helfen, auch komplexe statistische Konzepte so zu beschreiben, dass ein »gesunder Menschenverstand« genügt, um sie zu verstehen.
Einfache und klare Schritt‐für‐Schritt‐Anleitungen: Die Vorgehensweise zur Lösung von statistischen Aufgabenstellungen folgt häufig einem klaren und fest vorgegebenen Lösungsweg. Es spricht also nichts dagegen, diesen Lösungsweg in einfachen Schritt‐für‐Schritt‐Anleitungen darzustellen, damit er für jeden verständlich und nachvollziehbar ist. Genau solche Schritt‐für‐Schritt‐Anleitungen finden Sie in diesem Buch in großer Zahl.
Dieses Buch ist genau für Leute wie Sie geschrieben, die bereits erste Gehversuche auf dem Gebiet der Statistik absolviert haben – zum Beispiel den ersten Grundkurs Statistik abgeschlossen oder zumindest die erste Vorlesungsstunde besucht haben – und es jetzt kaum erwarten können, tiefer in die Statistik einzusteigen und sich an jeder Menge praktischen Übungen zu messen – sei es, weil die Statistik für Sie das spannendste Fach ist, das Sie sich überhaupt vorstellen können, oder weil Sie dieses verdammte Pflichtfach nun einmal absolvieren müssen und am Ende eine Prüfung ansteht, die Sie mit Anstand bestehen möchten. Vielleicht haben Sie aber auch gar keine Prüfung vor sich, sondern einfach nur den persönlichen Ehrgeiz, endlich zu verstehen, was es mit dem zentralen Grenzwertsatz und diesen ominösen p‐Werten auf sich hat. In allen diesen Fällen halten Sie gerade genau das richtige Buch in der Hand.
Dieses Buch ist in sechs Hauptteile untergliedert, die jeweils einem der großen Themenbereiche aus der einführenden Statistik gewidmet sind. In einem siebten Teil werden noch einmal grundlegende Konzepte der Statistik in einem groben Überblick dargestellt, damit Sie dort Ihr Wissen überprüfen und einzelne Formeln nachschlagen können.
Im ersten Teil werden Sie gleich ins kalte Wasser geschubst – und zwar mit Anlauf, sodass Sie möglichst tief in die Abgründe der Statistik eintauchen. Dabei lernen Sie Grafiken zu erstellen und richtig zu interpretieren sowie die gebräuchlichsten statistischen Kennzahlen zu berechnen.
In diesem Teil begegnen Ihnen die »John, Paul, George und Ringo« der Statistik: Wahrscheinlichkeiten, die Normalverteilung und der zentrale Grenzwertsatz bilden die Basis der modernen Statistik (so wie die Beatles unverzichtbares Fundament der modernen Musik sind). In diesem Teil werden Sie den Umgang mit diesen zentralen Konzepten der Statistik üben und anschließend spielend damit jonglieren.
Ein großer Teil der Statistik beschäftigt sich damit, auf Basis einer Stichprobe Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit zu ziehen. Dazu wird die Lage von bestimmten Parametern wie die des Mittelwertes in der Grundgesamtheit geschätzt und Konfidenzintervalle werden berechnet. Das ist kein Hexenwerk, sondern sehr einfach zu erlernen, wie Sie in diesem Teil sehen.
In den beiden Kapiteln dieses Teils lernen Sie alles, was Sie brauchen, um Hypothesen über einen Mittelwert oder Anteilswert in der Grundgesamtheit zu formulieren, einen Hypothesentest zu entwerfen, durchzuführen und das Ergebnis richtig zu interpretieren.
Es besteht ein grundlegender Unterschied zwischen Experimenten und Beobachtungsstudien wie zum Beispiel Befragungen. In diesem Teil lernen Sie beide Verfahren zur Datenerhebung kennen und einzuschätzen. Dabei sollte deutlich werden, welche Methode bei welcher Art von Fragestellung geeignet ist und wann man den Ergebnissen eines Experiments oder einer Umfrage trauen kann – beziehungsweise wann besser nicht.
Häufig interessiert man sich in der Statistik für die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Variablen. In diesem Teil lernen Sie, solche Zusammenhänge zu identifizieren und richtig zu bewerten. Um es schon einmal vorwegzunehmen: Eine signifikante Korrelation zwischen zwei Variablen erlaubt keinen Schluss auf einen kausalen Zusammenhang zwischen den Variablen. Diese Aussage sollte Ihnen, nachdem Sie diesen Teil des Buches durchgearbeitet haben, selbstverständlich und nachgerade trivial erscheinen.
Wie viele Gegenstände würden Sie auf eine einsame Insel mitnehmen? Zehn Dinge sollten genügen. Die wirklich wichtigen Themen im Leben lassen sich locker in einer Top‐Ten‐Liste zusammenfassen. Genau dies geschieht auch in diesem Teil des Buches.
In diesem Buch werden einige Symbole verwendet, die Hinweise und Einschübe kennzeichnen, die von besonderer Bedeutung sind. Die Symbole sollen Ihnen helfen, sich einfach und schnell zu orientieren.
Wenn Sie dieses Symbol sehen, geht es um das Wesentliche, quasi um den Kern der Angelegenheit, wie zum Beispiel häufig gestellte Fragen in Klausuren, wichtige Bestandteile, die in einer Antwort nicht fehlen dürfen, oder häufige Fehler, die Sie vermeiden sollten.
Jeder Abschnitt in diesem Buch wird mit einem Übungsbeispiel samt Musterlösung abgeschlossen. Wenn Sie dieses Symbol sehen, wissen Sie, dass Sie es mit einem solchen Beispiel zu tun haben.
Dieses Symbol ist für wichtige Konzepte und Hinweise reserviert, die Sie sich hoffentlich noch lange merken, wenn Sie dieses Buch schon längst wieder vergessen haben.
Mit diesem Symbol werden Tipps und Tricks gekennzeichnet, die alternative Lösungswege, Abkürzungen, Vereinfachungen oder Eselsbrücken aufzeigen.
Dieses Symbol soll Sie auf häufige Fehler und »beliebte« Fallstricke hinweisen, über die auch Statistik‐Profis immer wieder gerne stolpern und die Sie unbedingt vermeiden sollten.
Dieses Buch ist modular aufgebaut, weshalb Sie nicht mit dem ersten Kapitel beginnen müssen, sondern an jeder beliebigen Stelle in das Buch einsteigen können. Wählen Sie als Einstieg also das Kapitel, das Sie am meisten interessiert. Je nachdem, womit Sie sich gerade hauptsächlich beschäftigen, empfehle ich die folgenden Startpunkte:
Wenn Sie sich näher mit statistischen Kennzahlen wie Mittelwert, Median, Standardabweichung etc. beschäftigen möchten, beginnen Sie ganz konventionell am Anfang des Buches, also mit Teil I.
Möchten Sie jetzt endlich verstehen, was es mit der Normalverteilung und dem zentralen Grenzwertsatz auf sich hat, überspringen Sie den ersten Teil und legen Sie direkt mit Teil II los.
Um mehr Übung im Umgang mit Konfidenzintervallen und Hypothesentests zu bekommen, knöpfen Sie sich die Teile III und IV vor.
Wenn Sie sich näher mit den Unterschieden, Anwendungsfällen und Grenzen von Umfragen und Experimenten auseinandersetzen möchten, springen Sie direkt zu Teil V.
Interessieren Sie sich besonders für den Zusammenhang zwischen zwei Variablen (Sie wissen schon, mit Korrelationen, Regressionen und so weiter), sollten Sie in Teil VI fündig werden.
Und jetzt legen Sie einfach los. Viel Spaß und viel Erfolg!
Teil I
In diesem Teil …
In diesem ersten Teil steigen Sie gleich richtig ein in die Grundlagen der Statistik. Sie beginnen mit dem Erstellen und Auswerten von Häufigkeitstabellen, erzeugen Balkendiagramme für kategoriale Daten und Histogramme für quantitative Daten und lernen die wichtigsten Kennzahlen der Statistik wie Mittelwert, Median und Standardabweichung nicht nur zu berechnen, sondern auch richtig zu interpretieren.
Kapitel 1
In diesem Kapitel
Häufigkeitstabellen für kategoriale Daten erstellen
Der kleine Unterschied zwischen absoluten Häufigkeiten und relativen Häufigkeiten
Häufigkeitstabellen interpretieren und bewerten
Als kategoriale Daten werden solche Daten bezeichnet, die jede Beobachtung genau einer Kategorie zuordnen. Typische Beispiele für solche Kategorien sind klein, mittel, groß oder männlich, weiblich oder Deutscher, Franzose, Italiener, Österreicher etc. Wenn Sie kategoriale Daten erhoben haben, liegen diese in den meisten Fällen zunächst als lange Liste vor, in der jede befragte Person (beziehungsweise allgemein jede Beobachtungseinheit) eine Zeile bildet und die Werte der kategorialen Variablen in einer langen Spalte einzeln untereinander stehen. Eine solche unübersichtliche Liste ist jedoch nur selten aussagekräftig. Daher müssen die Daten für eine Auswertung zusammengefasst und in übersichtlicher Form dargestellt werden. Der einfachste Weg hierzu besteht darin auszuzählen, wie viele Beobachtungen in die einzelnen Kategorien fallen, und das Ergebnis als sogenannte Häufigkeitstabelle darzustellen. Genau dies können Sie in diesem Kapitel üben, nämlich das Erstellen und Interpretieren von absoluten und relativen Häufigkeitstabellen für kategoriale Daten.
Die Anzahl der Beobachtungen, die in eine bestimmte Kategorie fallen, wird als absolute Häufigkeit dieser Kategorie bezeichnet. Durch das einfache Auflisten sämtlicher Kategorien mit den dazugehörigen Häufigkeiten erhalten Sie eine Häufigkeitstabelle. Die Summe der Häufigkeiten aller Kategorien sollte dabei stets der Größe der gesamten Stichprobe entsprechen, da ja schließlich jede Beobachtung genau einer Kategorie zugeordnet wurde.
Die folgenden Aufgaben enthalten Beispiele dafür, wie sich kategoriale Daten mithilfe von Häufigkeitstabellen zusammenfassen lassen.
Angenommen, Sie haben zehn Personen gefragt, ob sie ein Handy besitzen. Jede dieser zehn Personen kann also in eine von zwei möglichen Kategorien fallen: Ja oder Nein. Das Ergebnis Ihrer Befragung ist in der folgenden Tabelle wiedergegeben.
|
Person Nr. |
Handy |
Person Nr. |
Handy |
|---|---|---|---|
|
1 |
Ja |
6 |
Ja |
|
2 |
Nein |
7 |
Ja |
|
3 |
Ja |
8 |
Ja |
|
4 |
Nein |
9 |
Nein |
|
5 |
Ja |
10 |
Ja |
Fassen Sie diese Daten in einer Häufigkeitstabelle zusammen.
Worin besteht der Nutzen der Zusammenfassung von kategorialen Daten?
In der Zusammenfassung werden die erhobenen Daten klar und übersichtlich dargestellt.
Die Häufigkeitstabelle für die Antworten der zehn befragten Personen ist in der folgenden Tabelle wiedergegeben.
Die Zusammenfassung der Daten ermöglicht es Ihnen, die Relevanz der einzelnen Kategorien abzulesen und Muster in den Daten zu erkennen, die aus Rohdaten nicht auf den ersten Blick ersichtlich wären.
|
Besitzen Sie ein Handy? |
Absolute Häufigkeit |
|---|---|
|
Ja |
7 |
|
Nein |
3 |
|
Gesamt |
10 |
Sie lassen 20 Kunden in einem Supermarkt zwei unterschiedliche Marken eines Softdrinks testen und fragen anschließend, welches Getränk besser geschmeckt hat, Marke A oder Marke B. Die Ergebnisse dieser Befragung sehen wie folgt aus: A, A, B, B, B, B, B, B, A, A, A, B, A, A, A, A, B, B, A, A.
Welche der beiden Marken bevorzugen die Kunden? Erstellen Sie hierzu eine Häufigkeitstabelle und erläutern Sie das Ergebnis.
Die Einwohner einer Stadt sind in einer Volksabstimmung dazu aufgerufen, über die Erhöhung einer Sonderabgabe zur Finanzierung der öffentlichen Schulen abzustimmen. Insgesamt haben 18.726 Wähler ihre Stimme hierzu abgegeben. Davon stimmten 10.479 für die Erhöhung der Sonderabgabe, die übrigen Wähler dagegen.
Stellen Sie das Ergebnis in einer Häufigkeitstabelle dar.
Warum ist es wichtig, die Anzahl der insgesamt befragten Personen in der Tabelle mit auszuweisen?
Ein Zoo führt eine Befragung durch und möchte von 1.000 Personen wissen, ob sie im letzten Jahr den Zoo besucht haben. 592 der Befragten antworten mit Ja, 198 mit Nein und 210 haben gar nicht geantwortet.
Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit den Ergebnissen der Befragung.
Erläutern Sie, warum es notwendig ist, auch die Personen, die keine Antwort abgegeben haben, in der Häufigkeitstabelle mit aufzuführen.
Mal angenommen, Sie würden eine Häufigkeitstabelle erstellen, in der für jede Kategorie nicht die absolute Anzahl der Nennungen dieser Kategorie aufgeführt wird, sondern lediglich der Prozentwert (die relative Häufigkeit). Welchen Vorteil hat eine solche relative Häufigkeitstabelle gegenüber einer Häufigkeitstabelle mit absoluten Häufigkeiten?
Eine andere Möglichkeit, kategoriale Daten zusammenzufassen und in verdichteter Form darzustellen, besteht darin aufzulisten, welcher prozentuale Anteil der Antworten auf die verschiedenen Kategorien entfällt. Diese Prozentwerte sind die relativen Häufigkeiten der Kategorien. Die relative Häufigkeit einer bestimmten Kategorie ergibt sich aus der absoluten Häufigkeit (der Anzahl der Beobachtungen in einer Kategorie) geteilt durch die gesamte Stichprobengröße. Wenn Sie beispielsweise 50 Personen nach ihren Präferenzen zu einem bestimmten Thema befragen und zehn der Befragten geben sich als Anhänger einer bestimmten Variante zu erkennen, errechnet sich die relative Häufigkeit der Anhänger dieser Variante als 10 ÷ 50 = 0,2 beziehungsweise 20 %.
Durch die Auflistung sämtlicher Kategorien mit ihren jeweiligen relativen Häufigkeiten erstellen Sie eine relative Häufigkeitstabelle. Die Summe der relativen Häufigkeiten aller Kategorien sollte stets 100 Prozent ergeben (wenn man einmal kleine Rundungsfehler außer Acht lässt).
Das folgende Beispiel zeigt, wie kategoriale Daten in einer relativen Häufigkeitstabelle zusammengefasst werden können.
In der folgenden Tabelle können Sie für insgesamt zehn Personen ablesen, ob diese ein Mobiltelefon besitzen. Erstellen Sie für diese Daten eine relative Häufigkeitstabelle und interpretieren Sie das Ergebnis.
|
Person Nr. |
Handy |
Person Nr. |
Handy |
|---|---|---|---|
|
1 |
Ja |
6 |
Ja |
|
2 |
Nein |
7 |
Ja |
|
3 |
Ja |
8 |
Ja |
|
4 |
Nein |
9 |
Nein |
|
5 |
Ja |
10 |
Ja |
Die folgende Tabelle zeigt eine relative Häufigkeitstabelle für die Handy‐Daten. 70 % der befragten Personen haben angegeben, ein Handy zu besitzen, während 30 % offenbar noch in der Steinzeit leben und mit Rauchzeichen kommunizieren.
|
Besitzen Sie ein Handy? |
Relative Häufigkeit |
|---|---|
|
Ja |
70 % |
|
Nein |
30 % |
Den Wert 70 % in der Tabelle errechnen Sie, indem Sie die Zahl der Personen mit Handy (also 7) durch die Zahl aller befragten Personen (10) dividieren. Sie rechnen also 7 ÷ 10 = 0,7 beziehungsweise 70 %. Entsprechend ergeben sich die 30 % »Steinzeitmenschen« als 3 ÷ 10 = 0,3 beziehungsweise 30 %.
Sie lassen 20 Kunden in einem Supermarkt zwei verschiedene Softdrinks testen und fragen anschließend, welches Getränk ihnen besser schmeckt, Marke A oder Marke B. Sie erhalten die folgenden Ergebnisse: A, A, B, B, B, B, B, B, A, A, A, B, A, A, A, A, B, B, A, A. Welches Getränk findet bei den Befragten mehr Zuspruch?
Erstellen Sie eine relative Häufigkeitstabelle, um das beliebteste Getränk zu ermitteln.
Welche Art von Häufigkeitsauswertung ist generell leichter zu interpretieren: absolute oder relative Häufigkeiten? Begründen Sie Ihre Antwort.
Die Bewohner einer Stadt sind aufgerufen, in einer Volksabstimmung über die Erhöhung einer Sonderabgabe zur Finanzierung öffentlicher Schulen zu entscheiden. Insgesamt haben 18.726 Wähler ihre Stimme hierzu abgegeben; davon stimmten 10.479 für die Erhöhung der Sonderabgabe, die übrigen Wähler dagegen. Stellen Sie das Wahlergebnis in einer relativen Häufigkeitstabelle dar.
Ein Zoo führt eine Befragung durch und möchte von 1.000 Personen wissen, ob sie im letzten Jahr den Zoo besucht haben. 592 der Befragten antworten mit Ja, 198 mit Nein und 210 haben gar nicht geantwortet. Erstellen Sie für dieses Ergebnis eine relative Häufigkeitstabelle und ermitteln Sie anhand der Tabelle die Antwortrate, also den Anteil der Personen, die überhaupt auf die Frage nach dem Zoobesuch geantwortet haben.
Nennen Sie einen Nachteil von relativen Häufigkeitstabellen gegenüber einfachen Häufigkeitstabellen mit absoluten Häufigkeiten.
Werden umfangreiche kategoriale Daten wie in einer Häufigkeitstabelle zu verdichteten Daten zusammengefasst, können dabei leicht wichtige Informationen verloren gehen, die in den Ursprungsdaten enthalten sind. Zusammengefasste Daten bergen daher stets das Risiko, dass sie unpräzise oder unvollständig sind. Bei der Interpretation von Häufigkeitstabellen und anderen Formen von Datenzusammenfassungen sollten Sie daher stets wissen, auf welche möglichen Schwachstellen Sie achten müssen, um nicht irreführende oder unvollständige Informationen zu erhalten.
In Statistik‐Kursen und ‐Prüfungen fordern die Lehrer gerne dazu auf, »die Ergebnisse zu interpretieren«. Was der Prüfer damit eigentlich meint, ist nichts anderes, als die vorliegenden Daten in Bezug auf die jeweilige Fragestellung zu bewerten. Mit anderen Worten will der Prüfer wissen: Was kann die Person, die die vorliegenden Daten vor dem Hintergrund einer konkreten Fragestellung erhoben hat, nun aus den gewonnenen Daten lernen?
Wenn Sie relative Häufigkeitstabellen erstellen oder auswerten, vergessen Sie nie zu prüfen, ob sich die Prozentwerte sämtlicher Kategorien zu 100 % addieren (abgesehen von minimalen Rundungsfehlern, die zulässig sind). Außerdem sollten Sie sich nie auf die alleinige Betrachtung der relativen Häufigkeiten beschränken, sondern stets überprüfen, wie groß die Stichprobe ist, auf der die relative Häufigkeitstabelle basiert.
Das folgende Beispiel zeigt einige entscheidende Aspekte für einen kritischen Umgang mit zusammengefassten Daten.
Sie sehen im Fernsehen einen Werbespot, in dem der Hersteller eines neuen Erkältungsmedikaments »Antigrippe« dieses mit dem derzeit meistverkauften Erkältungsmedikament vergleicht. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle wiedergegeben.
|
Bewertung von Antigrippe im Vergleich zum Marktführer |
Prozent |
|---|---|
|
Viel besser |
47 % |
|
Mindestens gleich gut |
18 % |
Was für eine Art von Tabelle wurde hier verwendet?
Interpretieren Sie das Ergebnis. Hat das neue Erkältungsmedikament den aktuellen Marktführer geschlagen?
Welche wichtigen Informationen fehlen in der Tabelle?
Mit der im Werbespot verwendeten Tabelle verhält es sich ähnlich wie mit guten Ratschlägen: Sie hilft nicht wirklich weiter.
Bei der Tabelle handelt es sich um eine unvollständige relative Häufigkeitstabelle. Die Tabelle ist unvollständig, weil die Kategorie »Antigrippe ist weniger gut als das führende Produkt« fehlt. Sie können den fehlenden Wert aber leicht selbst berechnen, denn vermutlich sagen 100 % – (47 % + 18 %) = 35 % der Testpersonen, dass der aktuelle Marktführer besser ist als Antigrippe. (Wenn es nicht noch weitere Kategorien wie »Weiß nicht« gibt.)
Wenn man die beiden Kategorien aus der Tabelle zusammenfasst, erkennt man, dass 65 % der Testpersonen angeben, dass Antigrippe mindestens so gut wirkt wie das aktuell führende Produkt. Etwa die Hälfte der Personen sagt sogar, Antigrippe wirke besser.
Welche Informationen fehlen? Zunächst einmal fehlt mindestens eine Kategorie, damit sich alle möglichen Antworten fair miteinander vergleichen lassen. Noch gravierender ist aber, dass die Stichprobengröße nicht mit ausgewiesen wird. So wird nicht deutlich, ob die Ergebnisse auf einer Befragung von 10, 100 oder 1.000 Patienten basieren. Damit ist die Zuverlässigkeit der Ergebnisse vollkommen unklar. Es ist überhaupt nicht zu erkennen, ob sich die Ergebnisse verallgemeinern lassen (weil die Stichprobe so groß war, dass starke Abweichungen vom tatsächlichen Stimmungsbild sehr unwahrscheinlich sind) oder ob die Ergebnisse letztlich nur für einige wenige von dem Hersteller befragte Patienten gelten.
Sie haben 1.000 Personen gebeten, aus einer Liste von typischen Urlaubszielen diejenigen anzugeben, die der jeweilige Befragte bereits besucht hat. Bei dieser Befragung haben Sie folgende Ergebnisse erhalten: Spanien: 216 Nennungen; Italien: 312; Frankreich: 418; England: 359; USA: 188.
Erläutern Sie, warum eine klassische relative Häufigkeitstabelle für diese Daten nicht sinnvoll ist.
Wie können Sie die vorliegenden Daten stattdessen sinnvoll mithilfe von relativen Häufigkeiten zusammenfassen und darstellen?
Angenommen, Ihnen liegt als Ergebnis einer Befragung ausschließlich eine Häufigkeitstabelle mit absoluten Häufigkeiten vor. Können Sie anhand dieser Tabelle die korrespondierende relative Häufigkeitstabelle erstellen?
Wie verhält es sich im umgekehrten Fall? Können Sie auf Basis einer relativen Häufigkeitstabelle auch die entsprechende Tabelle mit absoluten Häufigkeiten erstellen?
Begründen Sie Ihre Antworten.
11 Kunden bevorzugen Marke A, 9 Kunden geben Marke B den Vorzug. Dieses Ergebnis ist in der folgenden Häufigkeitstabelle dargestellt. Marke A hat damit mehr Stimmen erhalten, insgesamt liegen beiden Marken jedoch sehr dicht beieinander.
|
Bevorzugte Marke |
Absolute Häufigkeit |
|---|---|
|
Marke A |
11 |
|
Marke B |
9 |
|
Gesamt |
20 |
Kategoriale Daten können sehr gut durch die einfache Angabe der absoluten Häufigkeiten der einzelnen Kategorien zusammengefasst werden, solange man dabei stets die Gesamtzahl aller Beobachtungen im Auge behält.
Die Ergebnisse der Volksabstimmung sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Da insgesamt 18.726 Einwohner abgestimmt haben und davon 10.479 mit Ja stimmten, ergibt sich die Anzahl der Nein‐Stimmen aus der Differenz und beträgt damit 18.726 – 10.479 = 8.247.
Es ist wichtig, die Gesamtzahl der Befragten zu kennen, da sich nur im Vergleich zu dieser Gesamtzahl die Häufigkeiten einzelner Kategorien bewerten lassen.
|
Wahl |
Absolute Häufigkeit |
|---|---|
|
Ja |
10.479 |
|
Nein |
8.247 |
|
Gesamt |
18.726 |
Dieses Beispiel zeigt, wie wichtig es ist, bei der Ergebnisdarstellung nicht nur die Antworten der Befragungsteilnehmer auszuweisen, sondern auch anzugeben, wie viele Personen insgesamt gefragt wurden und welcher Anteil davon tatsächlich an der Befragung teilgenommen hat.
Die Ergebnisse der Befragung werden in der folgenden Häufigkeitstabelle wiedergegeben.
Würden in dieser Tabelle die Befragten ohne Antwort nicht mit ausgewiesen werden, würden sich die Häufigkeiten der einzelnen Kategorien nicht zu 1.000 (der Gesamtzahl der Befragten) addieren. Grundsätzlich besteht natürlich die Möglichkeit, die Ergebnisse nur auf Basis der gültigen Antworten darzustellen, diese Darstellung könnte jedoch verzerrt sein und relevante Informationen verschweigen. Würde man die Befragten ohne Antwort einfach unter den Tisch fallen lassen, würde man damit implizit unterstellen, diese Personen hätten, wenn sie denn an der Befragung teilgenommen hätten, im Wesentlichen genauso geantwortet wie die tatsächlichen Befragungsteilnehmer. Diese Annahme ist jedoch nicht ohne Weiteres zulässig.
|
Haben Sie im letzten Jahr den Zoo besucht? |
Absolute Häufigkeit |
|---|---|
|
Ja |
592 |
|
Nein |
198 |
|
keine Antwort |
210 |
|
Gesamt |
1.000 |
Wenn Sie für die Zusammenfassung kategorialer Daten statt absoluter Häufigkeiten Prozentwerte angeben, erzeugen Sie damit eine relative Häufigkeitstabelle. Ein Vorteil einer solchen relativen Häufigkeitstabelle besteht darin, dass sich die Anteile der einzelnen Kategorien (also ihre relativen Häufigkeiten) stets zu 100 % addieren. Dadurch fällt es häufig leichter, die Ergebnisse zu interpretieren, da sich die Bedeutung einzelner Kategorien in Relation zu den übrigen Kategorien leichter ablesen lässt, insbesondere wenn viele verschiedene Kategorien betrachtet werden. Ferner können verschiedene Tabellen gleichen Aufbaus miteinander verglichen werden.
Relative Häufigkeiten leisten genau das, was ihr Name verspricht: Sie helfen dabei, die einzelnen Ergebnisse in Relation zueinander zu setzen.
11 von 20 Kunden bevorzugen Marke A, 9 der 20 Befragten haben Marke B gewählt. Die relative Häufigkeitstabelle für dieses Ergebnis ist in der folgenden Darstellung wiedergegeben. Marke A hat mehr Stimmen erhalten, allerdings liegen beide Marken nahe beieinander: 55 % der Kunden präferieren Marke A, 45 % geben Marke B den Vorzug.
|
Bevorzugte Marke |
Relative Häufigkeit |
|---|---|
|
Marke A |
55 % |
|
Marke B |
45 % |
Häufig lassen sich Prozentangaben leichter interpretieren als absolute Häufigkeiten, denn für eine sinnvolle Bewertung von absoluten Häufigkeiten müssen diese immer noch in Relation zur Basis gesetzt werden, Sie benötigen also Aussagen der Art »soundso viele von insgesamt soundso vielen«.
Die Ergebnisse sind in der folgenden relativen Häufigkeitstabelle wiedergegeben. Der Prozentwert der Ja‐Stimmen beträgt 10.479 ÷ 18.726 = 55,96 %. Da die Gesamtheit stets 100 % umfasst, lässt sich der Anteil der Nein‐Stimmen berechnen als 100 % – 55,96 % = 44,04 %.
|
Wahl |
Relative Häufigkeit |
|---|---|
|
Ja |
55,96 % |
|
Nein |
44,04 % |
Die folgende Tabelle gibt die relative Häufigkeitstabelle für die Befragungsergebnisse wieder. Um die Ergebnisse angemessen interpretieren zu können, ist es wichtig, auch die Antwortrate zu kennen. Je höher die Antwortrate, desto besser. Die Antwortrate beträgt hier 59,2 % + 19,8 % = 79 %. Dies ist der Gesamtanteil der Personen, die auf die Frage in irgendeiner Form (mit Ja oder Nein) geantwortet haben. 21 Prozent haben dagegen nicht geantwortet.
|
Haben Sie im letzten Jahr den Zoo besucht? |
Relative Häufigkeit |
|---|---|
|
Ja |
592 ÷ 1.000 = 0,592 = 59,2 % |
|
Nein |
19,8 % |
|
keine Antwort |
21 % |
Ein Nachteil einer relativen Häufigkeitstabelle besteht darin, dass sie nur die prozentuale Verteilung der Ergebnisse anzeigt, nicht aber die absolute Anzahl der Beobachtungen, die der Tabelle zugrunde liegen. Ohne diese Information lässt sich jedoch nicht einschätzen, wie zuverlässig die Ergebnisse sind und ob ihre Aussagekraft hinreichend groß ist, um die Ergebnisse zu verallgemeinern. Diese Schwäche von relativen Häufigkeitstabellen können Sie vermeiden, indem Sie einfach die Größe der Stichprobe direkt ober‐ oder unterhalb der Tabelle mit angeben.
Wenn Sie eine relative Häufigkeitstabelle erstellen, geben Sie gemeinsam mit der Tabelle stets die Stichprobengröße an.
Besonders vorsichtig müssen Sie bei der Interpretation von solchen Tabellen sein, bei denen es möglich ist, dass eine Person (beziehungsweise allgemein eine Beobachtung) mehreren Kategorien gleichzeitig zugeordnet ist.
Die Häufigkeiten der einzelnen Kategorien addieren sich hier nicht zu 1.000, der Stichprobengröße, da jeder Befragte eines, mehrere oder auch gar keines der Reiseziele aus der Liste auswählen kann. Es ist also nicht sichergestellt, dass jeder Befragte im Ergebnis genau einer Kategorie zugeordnet ist. Wenn Sie die Summe aller Antworten berechnen (1.493) und die Häufigkeit jeder einzelnen Kategorie durch 1.493 teilen, erhalten Sie die relative Häufigkeit dieser Kategorie. Die relativen Häufigkeiten sämtlicher Kategorien addieren sich dabei auch zu 100 %, genau so, wie es sein soll. Aber was sagen die relativen Häufigkeiten aus? Es ist sehr schwierig, diese Prozentwerte zu interpretieren, denn sie basieren nicht auf der Anzahl der befragten Personen (sondern auf der Anzahl der insgesamt genannten Reiseziele).
Eine Möglichkeit, die Ergebnisse sinnvoll darzustellen, besteht darin, für jedes Urlaubsziel den Anteil der Personen anzugeben, die dieses Urlaubsziel bereits besucht haben (im Vergleich zu den Personen, die das Urlaubsziel noch nicht kennen). Diese Prozentangaben beziehen sich nur jeweils auf das einzelne Urlaubsziel und addieren sich daher für jedes einzelne Urlaubsziel zu 100 % (Anteil der Besucher + Anteil der Nichtbesucher = 100 %). Die folgende Tabelle stellt die Ergebnisse in dieser Form dar. Beachten Sie aber: Bei dieser Tabelle handelt es sich nicht um eine relative Häufigkeitstabelle, auch wenn die Darstellung freilich relative Häufigkeiten nutzt.
|
Urlaubsziel |
% Besucher |
% Nichtbesucher |
|---|---|---|
|
Spanien |
216 ÷ 1.000 = 21,6 % |
100 % – 21,6 % = 78,4 % |
|
Italien |
312 ÷ 1.000 = 31,2 % |
68,8 % |
|
Frankreich |
418 ÷ 1.000 = 41,8 % |
58,2 % |
|
England |
359 ÷ 1.000 = 35,9 % |
64,1 % |
|
USA |
188 ÷ 1.000 = 18,8 % |
81,2 % |
Nicht in allen Tabellen, die Prozentangaben ausweisen, müssen sich diese zu 1 (beziehungsweise 100 %) addieren. Verbiegen Sie eine Tabelle daher nicht so lange, bis sich eine Summe von 100 % ergibt, wenn dies gar nicht erforderlich ist. Hinterfragen Sie besser stets, ob es sein kann, dass eine Person (oder allgemein eine Beobachtung) in mehrere Kategorien fällt. Ist dies der Fall, ist eine relative Häufigkeitstabelle, in der sich die einzelnen relativen Häufigkeiten zu 100 % addieren, für die Darstellung der Ergebnisse nicht geeignet.
Sie können immer einfach sämtliche absoluten Häufigkeiten zu einer Gesamthäufigkeit addieren und anschließend die relativen Häufigkeiten berechnen, indem Sie die einzelnen absoluten Häufigkeiten durch die Gesamthäufigkeit teilen.
Liegen Ihnen dagegen nur die Prozentangaben vor, können Sie nicht ohne Weiteres rückwärts vorgehen und die ursprünglichen absoluten Häufigkeiten ermitteln, es sei denn, Ihnen ist auch die Anzahl der Personen (Beobachtungen) bekannt, die insgesamt befragt wurden. Angenommen, Sie wissen, dass 80 % der Personen aus einer Umfrage Eiscreme mögen. Wie viele Personen mögen dann Eiscreme? Wenn insgesamt 100 Personen befragt wurden, mögen 80 Befragte (100 · 0,8) Eiscreme. Umfasst die Stichprobe dagegen nur 50 Befragte, mögen 40 der Befragten (50 · 0,8) Eiscreme. Wurden insgesamt nur 5 Personen befragt, mögen nur 4 davon (5 · 0,8) Eiscreme. Diese Rechnungen zeigen noch einmal, wie wichtig es ist, dass eine relative Häufigkeitstabelle an irgendeiner Stelle auch die Größe der Stichprobe mit ausweist.
Achten Sie bei der Auswertung einer relativen Häufigkeitstabelle stets auf die Größe der Stichprobe. Lassen Sie sich nicht von einer isolierten Prozentangabe in die Irre führen, indem Sie implizit unterstellen, diese Angaben würden schon auf einer großen Anzahl von Beobachtungen basieren. Häufig ist dies nicht der Fall.