Desde el nacimiento de la colección de divulgación científica del Fondo de Cultura Económica en 1986, ésta ha mantenido un ritmo siempre ascendente que ha superado las aspiraciones de las personas e instituciones que la hicieron posible. Los científicos siempre han aportado material, con lo que han sumado a su trabajo la incursión en un campo nuevo: escribir de modo que los temas más complejos y casi inaccesibles puedan ser entendidos por los estudiantes y los lectores sin formación científica.
A los diez años de este fructífero trabajo se dio un paso adelante, que consistió en abrir la colección a los creadores de la ciencia que se piensa y crea en todos los ámbitos de la lengua española —y ahora también del portugués—, razón por la cual tomó el nombre de La Ciencia para Todos.
Del Río Bravo al Cabo de Hornos y, a través de la mar Océano, a la Península Ibérica, está en marcha un ejército integrado por un vasto número de investigadores, científicos y técnicos, que extienden sus actividades por todos los campos de la ciencia moderna, la cual se encuentra en plena revolución y continuamente va cambiando nuestra forma de pensar y observar cuanto nos rodea.
La internacionalización de La Ciencia para Todos no es sólo en extensión sino en profundidad. Es necesario pensar una ciencia en nuestros idiomas que, de acuerdo con nuestra tradición humanista, crezca sin olvidar al hombre, que es, en última instancia, su fin. Y, en consecuencia, su propósito principal es poner el pensamiento científico en manos de nuestros jóvenes, quienes, al llegar su turno, crearán una ciencia que, sin desdeñar a ninguna otra, lleve la impronta de nuestros pueblos.
Comité de Selección
Dr. Antonio Alonso
Dr. Francisco Bolívar Zapata
Dr. Javier Bracho
Dr. Juan Luis Cifuentes
Dra. Rosalinda Contreras
Dr. Jorge Flores Valdés
Dr. Juan Ramón de la Fuente
Dr. Leopoldo García−Colín Scherer
Dr. Adolfo Guzmán Arenas
Dr. Gonzalo Halffter
Dr. Jaime Martuscelli
Dra. Isaura Meza
Dr. José Luis Morán López
Dr. Héctor Nava Jaimes
Dr. Manuel Peimbert
Dr. José Antonio de la Peña
Dr. Ruy Pérez Tamayo
Dr. Julio Rubio Oca
Dr. José Sarukhán
Dr. Guillermo Soberón
Dr. Elías Trabulse
Coordinadora
María del Carmen Farías R.
La Ciencia para Todos / 166
Primera edición, 1999
Primera edición electrónica, 2017
Diseño de portada: Laura Esponda Aguilar / León Muñoz Santini
La Ciencia para Todos es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica, al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspicios de la Secretaría de Educación Pública y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología.
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ISBN 978-607-16-3463-4 (ePub)
Hecho en México - Made in Mexico
A NELIA
El tiempo ha llegado, dijo la Morsa,
de hablar de muchas cosas,
de zapatos, de barcos y sobres lacrados,
de coles y reyes.
Alicia a través del espejo, LEWIS CARROLL
Ver el mundo en un grano de arena
y el cielo en una flor silvestre,
Asir el infinito en la palma de tu mano
y la eternidad en una hora.
Augurios de inocencia, WILLIAM BLAKE
INTRODUCCIÓN
El hombre es mortal por sus temores
e inmortal por sus deseos.
PITÁGORAS
Comenzaré refiriendo mis temores. Escribir un libro de matemáticas para un público amplio es un reto muy atractivo del que no parece fácil salir bien librado. La sensación es parecida a la de tocar sonatas de Bach ante un público que creía que iba a escuchar un concierto de rock. O a la de ir a dar una conferencia de divulgación de matemáticas a una preparatoria para descubrir, cuando ya está uno ante un auditorio de 100 personas, que por equivocación anunciaron que la conferencia tendría como tema la sexología. Esto último me pasó hace años en una preparatoria en Puebla. Cuando aclaré al auditorio el error muchos se salieron, pero los que se quedaron, y fueron bastantes, no la pasaron mal.
Sé que la mayor parte del auditorio que tengo enfrente piensa que las matemáticas son feas, frías, aburridas y difíciles. Yo y muchos otros matemáticos sabemos que esto no es cierto: las matemáticas son bellas, cálidas, apasionantes y no siempre difíciles (de hecho, a veces, cuando entiende uno bien las cosas pueden ser claras y sencillas). Este libro constituye un intento de convencer al lector de que las matemáticas pueden ser así. La única manera que tengo de hacerlo es mostrándole algunas de las cosas que me gustan.
En este libro vamos a hablar de álgebra. Bueno, de algunos temas de álgebra. Algunos serán familiares para el lector, como el teorema de Pitágoras o las ecuaciones cuadráticas. Otros serán nuevos. Entre otras cosas, el lector encontrará aplicaciones de la teoría de matrices para la predicción de resultados de partidos de baloncesto; encontrará un estudio acerca de la teoría de los autómatas y sus lenguajes y su relación con la reciente derrota de Kasparov “a manos” de una computadora; encontrará una explicación de la demostración del último teorema de Fermat, sobre la que escribieron todos los periódicos del mundo en 1994.
Hay dos cualidades en particular de las matemáticas que queremos mostrar al lector:
Las matemáticas son útiles. Encontramos a las matemáticas en la solución de problemas muy variados. Desde problemas de conteo, hasta problemas físicos, químicos, ornamentales, deportivos y otros. En todos estos campos, el común denominador es la eficiencia con que funciona la maquinaria matemática.
Las matemáticas son una ciencia viva. Por alguna extraña razón se tiene la falsa idea de que las matemáticas forman un cuerpo de conocimiento completo, escrito en libros sólo comprensibles para algunos iniciados: los matemáticos. A este respecto puedo referir una anécdota. Una vez iba a entrar en un país en el que se requería visa. Me preguntaron en la Oficina de Migración:
—¿Cuál es su ocupación?
—Investigación en matemáticas.
—¿En qué área?
—Álgebra.
—¡Imposible! Si me dijera que en cálculo, tal vez lo creería. Pero en álgebra ya se sabe todo.
Por supuesto, esto no es así. El ejemplo reciente más famoso es la solución que dio en 1994 Andrew Wiles a un problema que fue planteado a principios del siglo XVII. Pero menos famosos que este problema, hay miles de problemas en los que los matemáticos trabajaron el día de hoy.
Hablemos ahora un poco sobre el contenido y la organización de este libro. Nuestra presentación de los temas será más o menos cronológica, de manera que a lo largo de los capítulos tocaremos temas de: aritmética, teoría de números, teoría de matrices, álgebra abstracta y finalmente álgebra y computación. Los capítulos son independientes entre sí, aunque en ocasiones se supone que alguna notación o algunas ideas ya son conocidas. Los primeros cuatro capítulos tratan problemas matemáticos cuyo planteamiento data de siglos atrás; éstos son generalmente numéricos (por ejemplo, problemas de conteo y de solución de ecuaciones). Los siguientes cuatro capítulos tratan lo que generalmente se llama álgebra moderna, es decir, la que se ha desarrollado de finales del siglo pasado hasta nuestros días. Los problemas que se estudian en estos capítulos comprenden estructuras algebraicas abstractas (por ejemplo, grupos y matrices). En el último capítulo damos algunos detalles biográficos de los matemáticos más importantes que tratamos a lo largo del libro. Al final de algunos capítulos el lector encontrará problemas. Algunos aparecen con soluciones completas, otros no. El libro cierra con una sección de referencias comentadas que debe servir al lector interesado para obtener otras lecturas que le permitan profundizar en temas que hayan despertado su curiosidad.
Algunas partes del libro se pueden leer como un recuento histórico y anecdótico salpicado con unas pocas ideas matemáticas. Otras son más difíciles. El lector no debe desanimarse si no entiende algunas cosas. Si durante una primera lectura encuentra partes demasiado difíciles, puede saltárselas y pasar al siguiente párrafo, sección o capítulo. Tal vez en una segunda lectura las cosas que fueron difíciles la primera vez comiencen a aclararse. Como ayuda para que el lector sepa cuáles son las secciones más difíciles, las hemos marcado con un asterisco, así: (*).
Las verdades matemáticas se llaman teoremas. Para llegar a establecer la validez de un teorema se requiere una demostración rigurosa que sea aceptada por cualquier matemático en cualquier lugar del mundo. Por ello, la única manera de tener una impresión del trabajo matemático es ver algunos teoremas y los pasos del razonamiento que llevan a establecer sus demostraciones. A lo largo del libro el lector encontrará muestras de teoremas, algunos con demostraciones, otros sin ellas. El lector puede evitar la lectura de las demostraciones de algunos teoremas sin que esto afecte su comprensión del texto. Sin embargo, el verdadero espíritu de las matemáticas se halla en los razonamientos que llevan a la prueba de los teoremas; la claridad de estos razonamientos es también la fuente de la belleza matemática. El lector que sienta curiosidad por la demostración de algún resultado que sólo se menciona en este libro, encontrará recomendaciones de otros libros de divulgación y textos matemáticos en las referencias comentadas al final del libro.
Antes de terminar esta introducción, quiero insistir en algunas de las cosas que este libro no es. Este libro no es un libro de texto. Es decir, no se trata de que el lector aprenda muchas cosas, que entienda todo y que al final se le haga un examen. Tómese este libro en forma relajada y sin formalidades. Pero, por otra parte, este libro no es una novela. Es decir, tampoco se puede leer a ratos, sin concentración y sin prestar mucha atención. Si así se hace, poco se entenderá. Leer este libro exigirá algo del lector. Pretende ser un libro de matemáticas. Si fuera un libro sobre matemáticas, hubiera sido más fácil hacerlo y el lector lo podría tomar como una novela. Por lo tanto, el lector debe estar listo para hacer matemáticas. Para ello, debe tener lápiz y papel a mano, repetir en el papel lo que se haga en el libro, rehacer y completar sus temas y pensar.
Terminaré hablando de mis deseos: que después de leer este libro el lector haya entendido algunas cosas y que le hayan parecido interesantes, bellas o divertidas, al menos algunas de ellas. Por supuesto, esto puede ser demasiado ambicioso. Veremos.
Finalmente, quiero agradecer a mi hermano Ricardo, a Michael Barot y a Carlos Daniel Amero por la cuidadosa lectura del texto y sus comentarios. También a Ruth y a Walter que leyeron algunos capítulos; a Elías Vigueira y Omar Guerrero por su trabajo fotográfico y a Gabriela Sanginés que me ayudó con el formato final. Las ilustraciones de los personajes que mencionamos las podrán ver en los dibujos que yo realicé, pues no pudieron hacerse con fotografías por problemas técnicos. Por supuesto, agradezco al Instituto de Matemáticas de la UNAM por el rico ambiente matemático donde trabajo cotidianamente y en particular a mis colegas y estudiantes del grupo de Representaciones de Álgebras.
Al llegar al final del proceso de elaboración de este libro descubro que aún hay muchas ideas que me gustaría desarrollar, modificaciones que me gustaría hacer. Pero en algún momento tiene uno que concluir.
México, noviembre de 1997.
Un hombre se propone la tarea de dibujar el mundo. A lo largo de los años puebla un espacio con imágenes de provincias, de reinos, de montañas, de bahías, de naves, de islas, de peces, de habitaciones, de instrumentos, de astros, de caballos y de personas. Poco antes de morir, descubre que ese paciente laberinto de líneas traza la imagen de su cara.
El hacedor, JORGE LUIS BORGES
I. De los dedos de las manos
a las computadoras
Dios hizo los números naturales,
lo demás es creación de los hombres.
GIUSEPPE PEANO
LAS dos primeras preguntas que hace un adulto a un niño que se encuentra por primera vez son: ¿Cómo te llamas? y ¿cuántos años tienes?
Generalmente, si el niño puede contestar la primera pregunta también podrá contestar la segunda, aunque sea indicando la respuesta con los dedos.
En efecto, el primer contacto de un niño con las matemáticas se da muy pronto en su vida. El pequeño aprende su edad y a contar algunos de los objetos que le rodean. Al menos hasta el diez, el número de dedos de las manos.
Los primeros hombres, como todavía lo hacen algunos pueblos primitivos, sólo necesitaban números pequeños y los formaban con los dedos de la mano. A medida que la sociedad fue evolucionando, hubo que hacer cálculos más complicados. Lo primero que se tuvo que hacer es encontrar la forma de indicar números mayores que diez. Por ejemplo, usando los dedos y otras partes del cuerpo, los miembros de la tribu sibiller de Nueva Guinea, cuentan hasta el 27. En la figura I.1 se ve un niño que imita la manera de contar de esta tribu y utiliza su índice derecho para señalar los dedos de la mano izquierda para contar del 1 al 5. Después usa su muñeca izquierda, antebrazo, codo, bíceps, clavícula, hombro, oreja y ojo para contar del 6 al 13. La nariz es el 14, luego señalando con el índice izquierdo baja del ojo hasta el meñique para los números del 15 al 27.
Un pueblo tan avanzado como el de los romanos tenía un sistema de numeración bastante primitivo y poco práctico. Todos conocemos los números romanos I, II, III, IV, V… Para convencerse de lo poco práctico de este sistema de numeración basta tratar de efectuar una suma como XLI + XCIX. En la figura I.2 se puede comparar cómo se escriben los primeros numerales en diferentes culturas.
Se cree que la notación que usamos para los numerales —1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9— tiene origen hindú. Alrededor del siglo X los árabes tomaron estos conocimientos de los hindúes e introdujeron su uso en España, de donde posteriormente pasaron a toda Europa. La forma de nuestros números nos es tan familiar que no estamos conscientes de la lenta evolución por la que pasaron a lo largo de siglos. En la figura I.3 podemos ver algunos pasos de esta evolución.
Parece que el sistema posicional en base 10 que usamos comenzó a usarse en la India alrededor del año 500 de nuestra era. Una vez conocido este sistema, los únicos dígitos importantes son los que denotan del 1 al 9 y el 0, que son los que se conservaron y evolucionaron hasta llegar a los números actuales. Pero la notación posicional no se popularizó sino hasta el siglo IX, después de que el matemático Al-Juarizmi de Bagdad (Mohamed ibn Musa) escribió un tratado de aritmética dirigido a los comerciantes donde recomendaba el uso de este sistema. Luego, poco a poco, el sistema decimal fue siendo aceptado en Europa. Es interesante saber que en el siglo XIII el gobierno de Florencia dictó leyes contra este sistema, pues se decía propiciaba la falsificación de billetes de banco, que podían ser fácilmente alterados para tener otra denominación.
SISTEMAS POSICIONALES
Considere un número positivo en nuestro sistema de numeración, como por ejemplo el 23 107. Sabemos desde la primaria que el primer dígito a la derecha (en este caso, el 7) corresponde a las unidades, el siguiente hacia la izquierda (el 0) a las decenas, luego (el 1) a las centenas y así sucesivamente. De esta manera tenemos que 23 107 es una abreviatura de la expresión:
23 107 = 2 × 10 000 + 3 × 1 000 + 1 × 100 + 0 × 10 + 7 × 1
= 2 × 104 + 3 × 103 + 1 × 102 + 7 × 100
donde usamos la convención de que 10m = 10 × 10 × … × 10 (m veces) representa un 1 seguido de m ceros. Mas en general, cualquier entero positivo n puede representarse en notación decimal como:
n = arar–1 … a0
donde cada letra ai es un dígito entre 0 y 9, de forma que la expresión de n en notación decimal es una abreviatura de:
n = ar · 10r + ar−1 · 10r−1 + ··· a0.
En el ejemplo de arriba, tenemos que a0 = 7, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 3 y a4 = 2 para formar el número 23 107. Todo esto puede generalizarse tomando un entero positivo cualquiera b > 1 como base. Cualquier número n puede escribirse como:
n = br · br + br−1 · br−1 ··· + b0
con br, br−1, …, b0 números enteros entre 0, 1, …, b−1. La expresión obtenida de esta manera:
n = brbr−1 … b0
se llama la representación posicional de n en base b.
Por ejemplo, el número 23 107 se escribiría en base 8 de la siguiente manera: 55 103, ya que:
5 × 84 + 5 × 83 + 1 × 82 + 0 × 81 + 3 × 80
= 20 480 + 2 560 + 64 + 3 = 23 107.
Donde, por supuesto, 84 = 8 × 8 × 8 × 8, 83 = 8 × 8 × 8, etc. En base 16, este mismo número 23 107 se escribiría 5 a43, donde la letra “a” denota el número 10 correspondiente a la base 16, esto es:
5 × 163 + 10 × 162 + 4 × 16 + 3 = 23 107.
Varios sistemas posicionales con diferentes bases han sido usados a lo largo de la historia, aunque la base 10 ha sido la dominante. Por ejemplo, los mayas usaban base 20, los babilonios usaban base 60. Para indicar la hora, nuestros relojes hoy en día usan todavía una combinación de base 12 y base 60 (si decimos que son las 2 horas 23 minutos y 11 segundos de la mañana, queremos decir que han transcurrido 2 × 602 + 23 × 60 + 11 = 8 591 segundos del día).
El sistema posicional de base 2 se llama sistema binario y es el sistema que utilizan las computadoras electrónicas. Nuestro número 23 107 se escribe como 101101001000011 en sistema binario. (¿Por qué?)
La razón por la que el sistema binario se utiliza en las computadoras es la siguiente: podemos pensar en una fila de focos que pueden estar apagados o prendidos. Si un foco está apagado indica que en ese lugar el dígito correspondiente es 0, si está prendido el dígito es el 1. Así nuestro número 23 107 se puede ver como la fila de focos siguiente:
Una computadora funciona por medio del flujo de la corriente eléctrica. De esta manera, un 1 indica que la corriente pasa por una puerta magnética, mientras que un 0 indica que la corriente no puede pasar por la puerta correspondiente.
ÁBACOS Y COMPUTADORAS
“¿Puedes sumar?” Preguntó la Reina Blanca.
“¿Cuánto es uno y uno y uno y uno y uno y uno
y uno y uno y uno?”
“No sé”, dijo Alicia, “perdí la cuenta”.
“No sabe sumar”, interrumpió la Reina Roja…
Alicia a través del espejo, LEWIS CARROLL
Contar es el uso más elemental que se da a los números. También se hacen operaciones con ellos: sumar, restar, multiplicar, dividir, y tal vez otras operaciones más complejas.
La mayoría de los sistemas de numeración que se usaron en la Antigüedad no eran muy adecuados para realizar operaciones. Solamente la introducción de los sistemas posicionales (en particular, el de base 10) facilitó las operaciones aritméticas.
Desde tiempos remotos se ha tratado de diseñar aparatos que simplifiquen y hagan más rápidas las “cuentas” aritméticas. Tal vez uno de los más antiguos es el ábaco, que es un invento simple y eficiente que aún se usa en muchos países. Aparentemente fue inventado en Babilonia hace más de 5 000 años, pero son los chinos los que lo llevaron a la forma en que se usa actualmente.
El ábaco tiene fichas móviles colocadas en filas en un tablero. Cada fila tiene 5 fichas divididas en 2 grupos: un grupo tiene 4 fichas, el otro sólo una. La primera fila indica las unidades, la segunda las decenas, la tercera las centenas y así sucesivamente. La ficha aislada de la primera fila vale 5, todas las otras valen 1; la ficha aislada de la segunda fila vale 50, las otras 4 valen 10 cada una, etc. Para escribir un número se hace en sistema decimal pegando las fichas necesarias al travesaño intermedio del ábaco. En la figura I.5 indicamos cómo se escriben algunos números en el ábaco.
Sumar con el ábaco es sencillo. Por ejemplo, consideremos la suma de 347 y 282. Escribimos el primer número en el ábaco. En seguida tratamos de agregar el segundo número con las fichas. Comenzamos por las centenas: agregamos 2 fichas. Seguimos con las decenas: debemos agregar 8 fichas, pero no las hay disponibles. Pero 80 = 100 − 20, entonces si agregamos una ficha en la fila de las centenas y quitamos 2 en la fila de las decenas, habremos sumado 80. Sumar 2 unidades es sencillo. El resultado de la suma queda escrito en el ábaco. En la figura I.6 ilustramos los pasos anteriores.
Hasta hace unos 20 años eran frecuentes los torneos aritméticos en que se enfrentaban personas que usaban el ábaco hábilmente (generalmente orientales) en contra de personas con calculadoras electrónicas. El resultado era que el ábaco se imponía siempre. No sé cuán verídicas sean estas historias, pero es cierto que en algunos países, como China y Japón, hay una gran tradición del uso del ábaco y algunas personas lo saben usar con habilidad sorprendente.
Muchas han sido las máquinas que los hombres han inventado para facilitar las operaciones. Es sorprendente que, en 1900, unos pescadores encontraron en el mar Egeo parte de un mecanismo con engranajes que parece datar de la Grecia clásica. Aparentemente este mecanismo formaba parte de una calculadora que permitía hacer operaciones aritméticas. En tiempos más cercanos, en el siglo XVII, John Napier construyó una calculadora de bolsillo para multiplicar. Blaise Pascal, en Francia, construyó una máquina que permitía sumar y restar mecánicamente. Ciertamente el tamaño de esta máquina era mucho mayor que el de una moderna calculadora de bolsillo.
Alrededor de 1830, el matemático e inventor inglés Charles Babbage diseñó una máquina programable, el “ingenio analítico”, que es el precursor de las modernas computadoras digitales. Babbage quería que su máquina tuviera la capacidad de realizar cualquier operación aritmética con base en instrucciones de tarjetas perforadas, una unidad de memoria en donde se almacenaran números, una unidad de control secuencial y casi todos los elementos que contiene una moderna computadora. Su máquina nunca pudo funcionar debido a problemas técnicos con la fabricación de piezas delicadas. Sus proyectos fueron olvidados y se volvió a saber de ellos sólo con el descubrimiento de sus diarios en 1937. Sin embargo, las ideas de Babbage eran correctas y él, junto con Ada Lovelace (hija de Lord Byron), fueron los primeros en idear lenguajes de computadora. A Lovelace se atribuye la frase “las computadoras sólo saben hacer lo que se les indica que hagan”, sin embargo creía que el “ingenio analítico” podría componer refinadas piezas de música de cualquier complejidad y extensión.
A partir de los años cincuenta, el acelerado crecimiento y desarrollo de la tecnología de las computadoras han tenido gran repercusión en el mundo y lo han modificado de manera permanente. En 1946, la primera computadora electrónica, ENIAC, comenzó a funcionar en la Universidad de Princeton; era capaz de realizar 5 000 sumas por segundo. En la actualidad hay supercomputadoras que pueden efectuar millones de operaciones por segundo. Hoy, prácticamente todas las actividades humanas están relacionadas, controladas o apoyadas por alguna computadora. Pero su uso se masificó hace menos de 15 años, con la llegada de las computadoras personales que han permitido a mucha gente el acceso directo a la computación.
ADIVINA EL NÚMERO
QUE ESTOY PENSANDO
One and one and one is three.
Try to be good looking cause you’re so hard to see.
“Come together”, LOS BEATLES
. La solución es usar el sistema posicional base 2. Comencemos por números pequeños. ¿Cuántas cifras se requieren para escribir 13 en base 2? En base 2, el número 13 es: 1 101. Se requieren cuatro cifras. Podríamos por tanto saber que la otra persona ha pensado el número 13 haciendo cuatro preguntas. ¿Cuáles? El “1” más a la izquierda de 1 101 quiere decir que nuestro número es mayor o igual que 2 = 8; el siguiente “1” quiere decir que de los 8 números que quedan entre 2 = 8 y 2 = 16, nuestro número está en la mitad de más arriba (es decir, es mayor o igual que 2 + 2 = 12); el siguiente “0” indica que de los números que quedan (12, 13, 14, 15 y 16), el nuestro está en la mitad de abajo (es decir, es menor que 2 + 2 + 2 = 14). El último “1” ubica precisamente al número 13.
Regresemos a la pregunta original. Usando una calculadora sabemos que 220 = 1 048 576. Por lo tanto, todo número entre 1 y 1 000 000 requiere 20 cifras para ser escrito en sistema binario. ¿Cuáles son las preguntas que hay que hacer entonces en nuestro juego?
1) ¿Es tu número mayor o igual que 219 = 524 288? Si la respuesta es afirmativa, nuestro número comienza con “1” en la posición 19 en base 2. Si es negativa, comienza con “0”.
Si la respuesta a la pregunta 1 fue afirmativa, entonces la pregunta 2 debe ser: ¿Es tu número mayor o igual que 219 + 218 = 786 432? En caso afirmativo, nuestro número comienza con “11” en base 2. Si es negativo comienza con “10”.
Si la respuesta a la pregunta 1 fue negativa, preguntamos ahora: ¿Es tu número mayor o igual que 218 = 262 144? En caso afirmativo, nuestro número comienza con “01” en base 2. En caso negativo, con “00”.
Al final de las 20 preguntas, conoceremos el número que la otra persona pensó en base 2 (y entonces también, fácilmente, en base 10).
Martin Gardner sugiere la fabricación de “cartas para adivinar el pensamiento” basadas en este principio. Para ello basta reproducir en papel las seis cartas que a continuación damos.
Se pide a una persona que piense un número entre 1 y 63 y que no nos lo diga. Le damos las 6 cartas y le pedimos que nos indique las cartas donde su número no aparece. ¡Inmediatamente nosotros adivinamos el número que pensó!
¿Cómo lo hacemos? Muy sencillo: la carta que comienza con 1 contiene todos los números entre 1 y 63 que tienen “1” en el lugar de las unidades cuando escribimos el número en sistema binario. La carta que comienza con 2 contiene todos los números que tienen “1” en el lugar de las decenas en sistema binario y así sucesivamente. Por ejemplo, si la persona pensó “30” nos indica entonces las cartas que comienzan con 1 y 32. ¿Qué hacemos nosotros? Sumamos los primeros números de las cartas que no nos indicó (las que sí contienen a 30), esto es, 2 + 4 + 8 + 16 = 30.