Razonamiento Lógico Matemático
para la toma de decisiones
Norma Elvira Peralta Márquez
Razonamiento Lógico Matemático para la toma de decisiones
Primera edición: 2015
Fecha de la edición: 26 de febrero de 2015
Fecha de 1ª. reimpresión: 27 de abril de 2015
D.R. © 2019 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán, C.P. 04510, México, Distrito Federal
Facultad de Contaduría y Administración
Publicaciones Empresariales unam. fca Publishing
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ISBN: 978-607-30-1160-0
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Hecho en México.
Mis dos ángeles:
Norma Paola y Arturo
A tres de mis mejores profesores:
Dr. Alberto Barajas Celis,
Mtro. Gonzalo Zubieta Russi,
Dr. José Alfredo Amor Montaño
A Dios
A las autoridades universitarias que me brindaron todo su apoyo
para que este libro de texto fuera una realidad.
En el mundo, la mayoría de universidades de prestigio que ofrece posgrados en el área de negocios utiliza como herramienta de selección de sus alumnos el Graduate Manegement Admission Test (gmat), un examen estandarizado que evalúa el razonamiento numérico y verbal de los aspirantes. Está elaborado de manera tal que puede determinar las capacidades del alumno, no sus conocimientos. Se presenta por completo en inglés.
El gmat consta de tres grandes rubros: Redacción analítica, Sección cuantitativa y Sección verbal. En la Sección cuantitativa, se maneja dos tipos de problemas: Problem solving (solución de problemas), de opción múltiple con la variante de que es más fácil equivocarse si no se tiene el cuidado adecuado, y los Data Sufficiency (suficiencia de datos), que presentan un razonamiento totalmente nuevo para el estudiante.
En la Facultad de Contaduría y Administración, dentro de sus planes de estudio 2012, se consideró y aprobó la inclusión de una asignatura que permitiera al alumno reforzar los conocimientos cuantitativos adquiridos hasta su ingreso a la facultad e introducir el razonamiento lógico matemático que se requiere para presentar este examen de admisión, por si le interesa al alumno continuar sus estudios. Claro está que también debe considerar el estudio del idioma inglés.
Este libro tiene por objeto reforzar los conocimientos cuantitativos que los alumnos han adquirido a la fecha; entrenar a los alumnos en un nuevo tipo de razonamiento lógico matemático, que les facilite la presentación del gmat, o, incluso, un nuevo enfoque en la resolución de problemas de tipo cuantitativo; finalmente, enseñar una pequeña proporción de la teoría y algoritmos matemáticos fundamentales en la Toma de Decisiones.
Se presenta como parte I, un capítulo de cada uno de los temas más relevantes en gmat: Lógica Matemática, Aritmética, Álgebra, Geometría Plana y del Espacio. En cada sección, se presenta problemas prototipo del gmat. En la Parte II, se incluye una pequeña porción de la teoría y algoritmos necesarios en la Toma de Decisiones.
Importante
Los problemas presentados en este texto tienen la finalidad de que el razonamiento de quien los resuelve se agilice y tome un rigor de inspección en la redacción del mismo. Las figuras NO son réplica idéntica de lo que se quiere presentar, incluso, puede no estar de acuerdo con la redacción del problema.
Para poder contestar los problemas en la categoría de opción múltiple, se recomienda realizar las operaciones, dibujos y razonamientos en una hoja aparte, antes de elegir su opción.
Los problemas de la categoría suficiencia de datos necesitan que usted examine con detenimiento la pregunta y cada una de las dos declaraciones que se le proporcionan en todos los capítulos de la primera parte de este libro. Para resolver este tipo de problemas, será necesario que siempre tenga a la mano la siguiente tabla:
Solución |
Justificación |
A |
La declaración (1) por sí sola es suficiente, pero la declaración (2) por sí sola no es suficiente. |
B |
La declaración (2) por sí sola es suficiente, pero la declaración (1) por sí sola no es suficiente. |
C |
Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna declaración por sí sola es suficiente. |
D |
Cada declaración por sí sola es suficiente. |
E |
Ambas declaraciones no son suficientes. |
Lógica Matemática
La Real Academia Española define a la Lógica como: “Del lat. logĭca, y este del gr. λογική. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento científico.”
Y a la Lógica formal o matemática como: “f. La que opera utilizando un lenguaje simbólico artificial y haciendo abstracción de los contenidos.”
La Lógica Matemática es de vital importancia en el aprendizaje de las matemáticas, pues adentra al estudiante en el manejo del lenguaje formal y es la base del razonamiento deductivo.
Aristóteles, nacido en el año 384 a.C., es el creador de la lógica. Sus aportaciones, junto con las de los estoicos y los escolásticos, constituyen prácticamente toda la lógica hasta el siglo xix. La lógica aristotélica se ocupa del estudio de los conceptos, prestando especial atención a los razonamientos deductivos categóricos o silogismos. A diferencia de la lógica formal, la lógica aristotélica parte del supuesto de que las formas de pensamiento reproducen lo que ocurre en la realidad.
Adicionalmente, se considera que la historia de la lógica se divide en tres periodos claves: el Clásico Antiguo (hasta el siglo VI d. C.), la Escolástica (siglos xi-xv) y la Lógica Matemática (desde el siglo xix); durante esta última, se construye una forma de álgebra abstracta. Kneale señaló que la diferencia principal entre estos periodos radica en que los dos primeros fueron desarrollados por filósofos y el tercero por matemáticos (Kneale, 1980, 349). En la actualidad, es la Lógica Matemática la que fundamenta todo razonamiento matemático.
Es Leibniz a quien se le considera el precursor de la moderna lógica matemática, a pesar de que sus escritos lógicos fundamentales salieron a la luz hasta que L. Couturat los publicó en 1901. Begriffsschrift de G. Frege, publicada en 1879, es el momento de madurez de la moderna lógica, pese a que su impacto real ocurrió hasta que Russell lo descubrió (Martín, 1997, 479).
El último periodo es el contemporáneo. Aparecen nuevos sistemas lógicos como el de Lewis (1918), las lógicas polivalentes de Post y Lukasiewiez (1920-21) y la lógica institucionista de Heyting. Los trabajos de Gödel, Ramsey, Tarski o Carnap hablan de la complejidad alcanzada por la nueva ciencia totalmente constituida (Martín, 1997, 481).
Es Gödel quien demuestra que en una teoría consistente, no todo teorema es demostrable. Esta importante aportación justifica el trabajo trascendente de todo matemático y es digno de señalarse en esta breve historia de la lógica.
Finalmente, en el siglo xx surge la lógica matemática, donde todo puede decirse con la precisión que se desee, y donde todo se puede demostrar con el rigor que se quiera. Sólo hace falta, a fin de difundir estos recursos entre un público no matemático, disponer de ejemplos cotidianos que tengan un valor ilustrativo equivalente al de los ejemplos matemáticos (Zubieta, 1992, xiii).
El razonamiento ordenado en las matemáticas es fundamental para su aplicación. Se requiere tener claridad en el pensamiento y saber fundamentar solamente en argumentos, resultados y algoritmos previamente demostrados para llegar a la solución de un problema.
Tomando completamente como base el libro de texto del Mtro. Gonzalo Zubieta, Taller de Lógica Matemática, se presenta a continuación un extracto de él.
Definiciones:
1. Una proposición es una frase que afirma o niega algo. Una proposición condicional es aquella que tiene la forma Si H entonces T, donde a H se le conoce como hipótesis y a la T como tesis.
2. Definición implícita de un término es una lista convencional de proposiciones, llamadas axiomas, que contienen al término en sí.
Las definiciones implícitas son como las adivinanzas: no dicen lo que el objeto es, sino qué propiedades tiene. Toda definición implícita obliga a interpretar los términos de manera que valgan los axiomas, por eso se dice que los axiomas son válidos por definición.
3. La definición implícita de veraz, mitómano y normal, se conforma de los siguientes axiomas:
I. Si x es veraz, y x dice que P, entonces P
II. Si x es mitómano, y x dice que P, entonces no P
III. Si x es veraz entonces x no es mitómano
Si x es mitómano entonces x no es normal
Si x es normal entonces x no es veraz
IV. x es veraz o x es mitómano o x es normal
De acuerdo con esta definición, veraz es el que siempre dice la verdad, el que es mitómano es el que siempre miente y normal es quien a veces dice la verdad y a veces dice mentiras. De igual manera, cualquier ser humano, sólo puede pertenecer a una y sólo una categoría.
También se considera como parte de esta definición implícita a los respectivos giros de cada axioma1, a saber:
I*. Si no P, y x dice que P, entonces x es no veraz
II*. Si P, y x dice que P, entonces x es no mitómano
III*. Si x es mitómano entonces x no es veraz
Si x es normal, entonces x no es mitómano
Si x es veraz entonces x no es normal
IV*. Si x no es veraz y x no es mitómano entonces x es normal
Si x no es veraz y x no es normal entonces x es mitómano
Si x no es normal y x no es mitómano entonces x es veraz
Note usted que si x dice una mentira, no se puede garantizar que x sea mitómano, pero sí que no es veraz. Si x dice una verdad, no se puede garantizar que sea veraz, pero sí que no es mitómano. De igual manera, cualquier ser humano, sólo puede pertenecer a una y sólo una categoría.
Como ejercicio, se sugiere al lector que busque en un diccionario la definición de veraz y mitómano para que tenga mayor claridad de estos conceptos.
A continuación, se presenta la forma en que se puede hacer una demostración formal, con un razonamiento ordenado, mediante la definición implícita de veraz, mitómano y normal de la sección anterior.
Definiciones:
1. Una deducción de la proposición P a partir de la proposición H es una cadena de proposiciones P1, P2, …, Pn, n ≥ 2, llamadas pasos, tales que Pn es P y cada paso es un resultado conocido, o es H o se infiere de pasos anteriores mediante un resultado conocido. También se le puede definir como demostración directa de la condicional si H entonces P.
2. Resultado conocido es toda proposición cuya validez se ha demostrado antes, o es un axioma o una tautología (proposición válida por su forma, no por su contenido).
Ejemplo 1
Mediante el uso de un conjunto de datos, se demostrará una proposición condicional.
A dice que B es mitómano B dice que C es normal C dice que A no es normal |
|||
Si A es veraz entonces C es veraz: |
|||
1 |
A es veraz |
Hipótesis |
|
2 |
A dice que B es mitómano |
Dato |
|
3 |
B es mitómano |
(1)(2) Axioma I |
|
4 |
B dice que C es normal |
Dato |
|
5 |
C no es normal |
(3)(4) Axioma II |
|
6 |
C dice que A no es normal |
Dato |
|
7 |
C no es mitómano |
(5)(6) Axioma II* |
|
8 |
C es veraz |
(5)(7) Axioma IV* |
Explicación
En una demostración directa de una condicional, el paso inicial es tomar a la hipótesis como proposición válida. Como se parte de una afirmación acerca de la variable A, se revisa en los datos que dice A; posteriormente, se utiliza el Axioma I para poder inferir en el paso 3. Observe que este proceso se repite hasta llegar al paso 5, donde hay una negación; por tanto, siempre se procederá a revisar en los datos, quién habla de la hipótesis. En este caso, es la variable C. En ese momento, se utilizan los giros de los primeros axiomas para realizar inferencias. La demostración termina cuando el último paso coincide con la tesis, a través del axioma IV*.
Se recomienda al lector reproducir este ejemplo, justificando cada paso en voz alta.
Ejemplo 2
A dice que B es normal B dice que C es normal C dice que A no es veraz |
|||
Si B es mitómano entonces C es veraz: |
|||
1 |
B es mitómano |
Hipótesis |
|
2 |
B dice que C es normal |
Dato |
|
3 |
C no es normal |
(1)(2) Axioma II |
|
4 |
A dice que B es normal |
Dato |
|
5 |
B no es normal |
(1) Axioma III |
|
6 |
A no es veraz |
(3)(4) Axioma I* |
|
7 |
C dice que A no es veraz |
Dato |
|
8 |
C no es mitómano |
(6)(7) Axioma II* |
|
9 |
C es veraz |
(3)(8) Axioma IV* |
Explicación
Nuevamente, como es una demostración directa de una condicional, el paso inicial es tomar a la hipótesis como proposición válida. Como se parte de una afirmación acerca de la variable B, se revisa en los datos que dice B. Posteriormente, se utiliza el Axioma II para poder inferir en el paso 3. Observe que ahora se tiene una primera negación, por eso se procederá a revisar en los datos quién habla de la hipótesis. En este caso es la variable B.
NOTE que en la hipótesis se habla de mitómano y en el dato de normalidad, por lo tanto se debe utilizar el axioma 3 para que después, en el paso 6, se pueda realizar una inferencia a través del Axioma I*, que es un giro del axioma I. Como nuevamente se infiere, una negación debe considerar el dato de quién habla de esta última variable A; por tanto, C es quien habla de A y se utiliza el axioma II* para inferir. La demostración termina cuando el último paso coincide con la tesis, utilizando el axioma IV*.
La forma en que se puede hacer una demostración formal de una proposición simple es revisar los datos para saber quién habla de la variable en la proposición simple y construir dos proposiciones condicionales: Una con la afirmación de la característica de quien habla y otra con la negación de la hipótesis de la primera (una de ellas se puede demostrar muy fácilmente).
Ejemplo 1. Mediante un conjunto de datos, se demostrará una proposición simple.
A dice que B es mitómano B dice que C no es normal C dice que A es veraz |
|||
C no es veraz |
|||
Caso 1 |
Si B es mitómano entonces C no es veraz: |
||
1 |
B es mitómano |
Hipótesis |
|
2 |
B dice que C no es normal |
Dato |
|
3 |
C es normal |
(1)(2) Axioma II |
|
4 |
C no es veraz |
(3) Axioma III |
|
Caso 2 |
Si B no es mitómano entonces C no es veraz: |
||
1 |
B no es mitómano |
Hipótesis |
|
2 |
A dice que B es mitómano |
Dato |
|
3 |
A no es veraz |
(1)(2) Axioma I* |
|
4 |
C dice que A es veraz |
Dato |
|
5 |
C no es veraz |
(3)(4) Axioma I* |
Explicación
En una demostración directa de una proposición simple, “C no es veraz”; se analiza primero quién habla de C, en este caso es B; como B dice que C no es normal, entonces si B fuera veraz se inferiría que C no es normal por lo tanto podría ser veraz o mitómano y lo que se quiere es que no sea veraz. Por esta razón, se elige que B sea mitómano para la construcción de la primera condicional. La segunda condicional es más sencilla de construir, basta con negar la hipótesis de la primera. Si ambas condicionales se pueden demostrar de manera directa, la proposición simple queda demostrada.
Ejemplo 2. A partir de un conjunto de datos, se demostrará una proposición simple.
A dice que B es normal B dice que C no es veraz C dice que A es veraz |
|||
B no es mitómano |
|||
Caso 1 |
Si A es veraz entonces B no es mitómano: |
||
1 |
A es veraz |
Hipótesis |
|
2 |
A dice que B es normal |
Dato |
|
3 |
B es normal |
(1)(2) Axioma I |
|
4 |
B no es mitómano |
(3) Axioma III* |
|
Caso 2 |
Si A no es veraz entonces B no es mitómano: |
||
1 |
A no es veraz |
Hipótesis |
|
2 |
C dice que A es veraz |
Dato |
|
3 |
C no es veraz |
(1)(2) Axioma I* |
|
4 |
B dice que C no es veraz |
Dato |
|
5 |
B no es mitómano |
(3)(4) Axioma II* |
Explicación
En una demostración directa de una proposición simple, “C no es veraz”. Se analiza primero quién habla de C; en este caso es B. Como B dice que C no es normal, entonces si B fuera veraz, se inferiría que C no es normal, por lo tanto podría ser veraz o mitómano y lo que se quiere es que no sea veraz. Por esta razón, se elige que B sea mitómano para la construcción de la primera condicional. La segunda condicional es más sencilla de construir, basta con negar la hipótesis de la primera. Si ambas condicionales se pueden demostrar de manera directa, la proposición simple queda demostrada.
Problemas
Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro Taller de lógica matemática. Realice las demostraciones directas de las proposiciones a, b, c y d considerando los datos que se le proporcionan, tal como se muestra en el capítulo.
1. |
A dice que B es mitómano B dice que C es mitómano C dice que A no es veraz |
a) |
B no es veraz |
b) |
C no es mitómano |
c) |
Si A es mitómano entonces B es normal |
d) |
Si A es veraz entonces C es normal |