Garcés Gómez, Jorge David.
Problemas resueltos de electromagnetismo. Volumen I Electrostática / Jorge David Garcés Gómez, Lope Alberto Ciro López, – 1a ed. – Medellín : Instituto Tecnológico Metropolitano, 2019.
(Textos Académicos)
1. Electromagnetismo 2. Electrostática I. Ciro López, Lope Alberto. II. Tít. III. Serie
537 SCDD Ed. 21
Catalogación en la publicación - Biblioteca ITM
Problemas resueltos de electromagnetismo. Volumen I Electrostática
© Instituto Tecnológico Metropolitano
EDICIÓN: septiembre de 2019
ISBN: 978-958-5414-88-4 (html)
ISBN: 978-958-5414-86-0 (ePub)
ISBN: 978-958-5414-87-7 (pdf)
https://doi.org/10.22430/9789585414884
AUTORES
Jorge David Garcés Gómez
Lope Alberto Ciro López
DIRECTORA EDITORIAL
Silvia Inés Jiménez Gómez
COMITÉ EDITORIAL
Jorge Iván Brand Ortiz, PhD.
Silvia Inés Jiménez Gómez, MSc.
Eduard Emiro Rodríguez Ramírez, MSc.
Viviana Díaz, Esp.
CORRECTORA DE TEXTOS
Lila María Cortés Fonnegra
ASISTENTE EDITORIAL
Viviana Díaz
DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN
Alfonso Tobón Botero
Jorge David Garcés
IMAGEN DE CAR ÁTULA
© Pixaboy/Boboshow
Editado en Medellín, Colombia
Sello editorial Fondo Editorial ITM
Instituto Tecnológico Metropolitano
Calle 73 No. 76A 354
Tel.: (574) 440 5100 Ext. 5197 - 5382
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Diseño epub:
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Este libro es una ayuda para el estudio y el aprendizaje de los procesos de análisis y solución, aplicados a problemas de campos electrostáticos y afines.
Se presentan soluciones a problemas que corresponden a temas como la Ley de Coulomb y sus aplicaciones; fuerzas eléctricas debidas a distribuciones de cargas continuas y discretas; campo y potencial eléctricos debidos a distribuciones de cargas continuas y discretas; una estructura eléctrica muy importante es el dipolo eléctrico, del cual se resuelven problemas sobre su campo y potencial eléctricos, como también sus líneas de fuerza. Merece especial mención la Ley de Gauss que se aplica tanto en forma integral como diferencial.
Otros temas fundamentales son la energía de los campos electrostáticos, medios materiales, polarización de dieléctricos, electrostática en dieléctricos, condiciones de frontera, problemas con valor en la frontera, soluciones a la ecuación de Laplace para potenciales y método de imágenes.
Las soluciones a los problemas se desarrollan en general de manera explícita, esto es, no se omiten pasos con el fin de llevar al estudiante paso a paso hasta la solución final. Este libro acompaña al estudiante que esté cursando las asignaturas de Campos Electromagnéticos o Electromagnetismo, entre otras. Para llevar a cabo la solución a problemas de los temas anunciados arriba, se hace acopio de prerrequisitos como el cálculo diferencial, integral y vectorial, en una, dos y tres variables.
El formato del libro es bastante informal, puesto que lo que se busca es brindar acompañamiento a los estudiantes en sus competencias para enfrentar las soluciones a problemas y situaciones particulares de la física de los campos electrostáticos. No es un libro donde se expone la fundamentación científica de la electrostática o campos electrostáticos, ya que para este fin hay abundancia de textos; en cambio, libros dedicados a ilustrar cómo se solucionan los problemas, son pocos.
El libro presenta al final los apéndices A, B y C, donde se realiza la solución a ciertos pasos que apenas se citan en la solución formal de un determinado problema.
Agradecemos especialmente a los profesores Mauricio Velásquez, catedrático del Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín; y John Jairo Zuluaga, profesor de la Universidad de Antioquia, por sus contribuciones en la digitación del manuscrito y solución de algunos problemas, respectivamente.
Serán bien recibidas todas las sugerencias de profesores y estudiantes que tengan como fin mejorar la calidad del libro en cualquiera de sus aspectos.
Jorge David Garcés Gómez
Lope Alberto Ciro López
1 FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL
1.1 Elementos del álgebra vectorial
1.2 Operaciones entre vectores
1.2.1 Suma de vectores
1.2.2 Resta de vectores
1.2.3 Multiplicación de un vector por un escalar
1.2.4 Productos entre vectores
1.2.5 Triple producto escalar
1.2.6 Triple producto vectorial
1.2.7 Diferenciales de desplazamiento, superficie y volumen
1.3 Integrales de línea, superficie y volumen
1.4 Transformación de coordenadas
2 PROBLEMAS DE ELECTROSTÁTICA
2.1 Aplicaciones de la Ley de Coulomb y la Ley de Gauss
2.2 Problemas sobre energía en los campos eléctricos
2.3 Polarización de dieléctricos
2.4 Condiciones en la frontera dieléctrico-dieléctrico
2.5 Problemas de electrostática con valor en la frontera
2.5.1 Solución a la ecuación de Laplace para problemas bidimensionales en coordenadas cartesianas
2.5.2 Solución a la ecuación de Laplace en coordenadas polares
2.5.3 Solución a la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas
2.6 Método de las imágenes
A Campos eléctricos generados por distribuciones uniformes de carga
A.1 Campo eléctrico y densidad de flujo eléctrico generado por un anillo de radio R
A.2 Campo eléctrico generado por un disco de radio R
A.3 Campo eléctrico y densidad de flujo eléctrico generado por un hilo de longitud infinita
B Solución de integrales
B.1
B.2
B.3
B.4
B.5
B.6
C Ecuación diferencial
Un vector en tres dimensiones se expresa en términos de los vectores unitarios ûx, ûy y ûz, así: = Axûx + Ayûy + Azûz, donde los coeficientes Ax, Ay y Az se conocen como componentes rectangulares o componentes cartesianos. Ax es la componente rectangular del vector en el eje de las x, Ay es la componente rectangular en el eje de las y, y Az es la componente rectangular en el eje de las z. La Figura 1.1 muestra al vector en el origen del sistema de coordenadas cartesianas y los ángulos que definen su dirección con respecto a cada uno de los ejes.
Los cosenos de los ángulos αx, αy y αz se denominan los cosenos directores del vector .
Un vector unitario en la dirección del vector se define como , con igual a la magnitud del vector .
La expresión (1.1) se puede dividir a ambos lados por , así:
Figura 1.1. Dirección del vector en 3-D
Por tanto, de (1.2) se puede concluir que los componente rectangulares de un vector unitario son sus cosenos directores.
La expresiòn (1.2) se puede expresar también como:
ûA = (cos αx, cos αy, cos αz).
De igual manera a partir de (1.1):
así que:
En la Figura 1.2, se nota que la proyección del vector ûA en el plano x − y tiene una magnitud igual a . La magnitud de ûA queda:
Figura 1.2. Componentes rectangulares del vector unitario
Por definición, la magnitud |ûA| = 1, así que:
esto es, la suma de los cuadrados de los cosenos directores del vector es igual a 1.
Ahora, .
Elevando al cuadrado miembro a miembro y sumando, se tiene:
Así que un vector en tres dimensiones queda definido por su magnitud y cosenos directores, o equivalentemente sus ángulos, así:
Sean .
La suma es:
La suma de vectores es conmutativa.
A diferencia de la suma de vectores, la diferencia de vectores es anticonmutativa, esto es,
Sean los vectores .
Sea la diferencia
En la Figura 1.3, el vector de posición del punto P está dado por:
El vector posición del punto Q está dado por:
La posición relativa del punto P respecto al punto Q está dada por:
Figura 1.3. Posición relativa entre dos puntos
La magnitud del vector, da la distancia entre los dos puntos,
distancia , entonces, la distancia entre dos puntos se obtiene como la magnitud de la diferencia de los vectores de posición de ambos puntos.
Sea el vector , y sea λ un escalar. Se puede definir un nuevo vector al multiplicar el escalar λ por el vector así:
Por tanto las componentes del vector son λAx, λAy y λAz, lo que se puede escribir en la forma = (λAx, λAy, λAz).
Si λ > 0, la magnitud del vector es , y su dirección es la misma dirección del vector .
Si λ < 0, la magnitud del vector es , y su dirección es opuesta a la dirección del vector . Lo anterior se puede demostrar de una manera sencilla:
Cosenos directores de :
Como se puede notar, los cosenos directores de son los mismos cosenos directores del vector , por tanto, la dirección del vector es la misma dirección del vector .
Cosenos directores de :
Teniendo en cuenta que , entonces
cos α′x = − cos αx, cos α′y = − cos αy y cos α′z = − cos αz, o lo que es lo mismo:
cos α′x = cos(αx ± π), cos α′y = cos(αy ± π), cos α′z = cos(αz ± π).
Esto prueba que la dirección del vector es opuesta a la dirección del vector .
Es el producto de las magnitudes de ambos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. De su definición se concluye que es un escalar.
Según esta definición, el producto escalar es conmutativo. Aplicamos la definición del producto escalar a los vectores unitarios ûx, ûy y ûz.
Si se tiene en cuenta (1.7) y la propiedad distributiva del producto escalar, este se puede expresar en una manera alterna a su definición:
Entonces, con esta nueva expresión del producto escalar se puede obtener el ángulo entre dos vectores, así:
Los tres vectores unitarios se pueden representar con la notación genérica ui, con i = 1, 2, 3; así que u1 = ûx, u2 = ûy y u3 = ûz. Las expresiones contenidas en (1.7) se sintetizan en la siguiente expresión:
δij se le denomina delta de Kronecker y vale 1 si i = j, o vale 0 si i ≠ j, esto es:
Con esta notación basada en subíndices que varían de 1 a 3, el producto escalar se puede escribir como:
El producto vectorial de con es un tercer vector orientado en dirección perpendicular al plano definido por los vectores y y apuntando en el sentido de avance de un tornillo de rosca derecha cuando gira de hacia .
Su magnitud está dada por el producto de las magnitudes de los vectores y el seno del ángulo entre los dos. Por lo tanto: y
El vector al ser perpendicular al plano que contiene los vectores, es perpendicular a cada uno de los vectores, como lo indica la Figura 1.4.
Figura 1.4. Producto vectorial de con
Al aplicar la definición del producto vectorial a los tres vectores unitarios cartesianos, se tiene:
Figura 1.5. Relación de ortogonalidad entre ûx, ûy, ûz
Teniendo presente el contenido (1.10), el producto vectorial es:
Pero esta expresión (1.11) no es más que el determinante de la matriz 3x3 en la que la primera fila son los vectores unitarios cartesianos tomados en el orden (x, y, z), la segunda fila son las componentes cartesianas del vector , tomadas en el mismo orden y la tercera fila son las componentes cartesianas del vector , también en el mismo orden. Esto es:
Siguiendo la notación con subíndices numéricos, tenemos las componentes del vector según (1.11), de la siguiente manera:
C1 = A2B3 − A3B2, C2 = A3B1 − A1B3, C3 = A1B2 − A2B1.
Si se introduce el símbolo εijk, definido de la siguiente manera:
ε123 = ε231 = ε312 = 1,
ε321 = ε213 = ε132 = −1.
Si se repiten índices, εijk = 0, las componentes del vector se pueden expresar como sigue:
Figura 1.6. Ciclo que define el valor de εijk = 1
Las expresiones dadas por (1.12) se pueden sintetizar así:
, por lo tanto,
Entonces, el producto vectorial entre y se puede expresar así:
El símbolo εijk, se conoce como símbolo de Levi-Civita.
Sean los vectores :
A la expresión se le conoce como triple producto escalar. Su módulo representa geométricamente el volumen de un paralelepípedo, que tiene por lados .
donde es el área de la base y cos θ es su altura. Ver Figura 1.7.
Sea M la matriz cuadrada 3 × 3, cuyas filas están definidas por las componentes de los vectores , y , respectivamente. Esto es,
Su determinante se expresa así:
Figura 1.7. Representación espacial del producto
El triple producto escalar se puede expresar como:
Para demostrar esta igualdad se debe tener presente el determinante de una matriz cuadrada 2 x 2, así:
Demostrar que .
Si en una matriz cuadrada hay un número par de cambios entre filas o entre columnas, el determinante no cambia. Teniendo en cuenta esta propiedad de los determinantes, podemos establecer que:
El primer determinante es , el segundo determinante es y el tercer determinante es , por tanto:
Otra forma de demostrarlo es la siguiente:
Sea , entonces . La componente Di del vector está dada por:
El símbolo de Levi-Civita tiene la propiedad de que: εijk = εjki = εkij. Ver Figura 1.8. Por tanto:
El término de la izquierda es , el término del medio es y el término de la derecha es ; por lo tanto se demuestra que:
Teniendo en cuenta las definiciones de producto escalar y producto vectorial, los vectores , y son coplanares (están en un mismo plano) si y sólo si .
Figura 1.8. Dispocisión cíclica de los índices i, j, k
Sean los vectores :
A la expresión se le conoce como triple producto vectorial.
Demostrar esta identidad.
Teniendo en cuenta la definición de producto vectorial se tiene:
Ahora:
Con el fin de obtener los productos escalares que aparecen a la derecha de la identidad, es necesario agregar en el primer renglón de (1.2.6) BxAxCx − BxAxCx, en el segundo renglón ByAyCy − ByAyCy y en el tercer renglón BzAzCz − BzAzCz, esto es,