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Son simplemente patrones, y su orden y su belleza, y es el modo como todo encaja para que al final resulte correcto. Y un enorme sentimiento de satisfacción cuando das con una prueba o comprendes algo. Son un ejercicio de razón pura.

Martin Gardner1

Martin Gardner, nacido en 1914 en Tulsa (Oklahoma), pensó en estudiar Física en el Cali-fornia Institute of Technology. Sin embargo, las normas de admisión que tenían en ese momento le obligaban a estudiar previamente dos años en otro lugar. Fue a Chicago y allí empezó a estudiar Filosofía. Terminó graduándose en esta disciplina en la universidad de esa ciudad, renunciando a su idea original de estudiar Física.

Quizá, por ello, fue capaz de aunar su afición científica inicial con su conocimiento de las ideas y la lengua, transmitiendo unas matemáticas “diferentes” a un público muy variado: desde reputados científicos, contando con muchos matemáticos entre ellos, hasta personas con un cierto interés por la ciencia pero que no se dedicaban profesionalmente a ella y, cómo no, a muchos jóvenes, ya que durante más de 25 años estuvo escribiendo la columna de “Juegos Matemáticos” para la revista Scientific American. No en vano Ron Gra-ham lo describe como alguien que “convirtió a miles de niños en matemáticos y a miles de matemáticos en niños”.

Convirtió a muchos matemáticos en niños porque les dio una oportunidad para ju-gar. Y eso siempre es bueno. En la práctica totalidad de los escritos de Gardner aparecen juegos, en diversos formatos, pero ahí están. A veces se trata de problemas “con trampa” (o que hay que pensar dos veces), en otras ocasiones encontramos juegos topológicos en los que hay que manipular papel o cuerdas. Otras veces nos traslada a una dimensión diferen-te del arte y, en muchas ocasiones, podemos sorprendernos viendo cómo, con sus propues-tas, la magia aparece en nuestras manos.

1 Martin Gardner respondiendo a Anthony Barcellos a la pregunta: “¿Qué tienen las Matemáticas para que te gusten tanto?” The Two Year College Mathematicals Journal of the Mathematical Associa-tion of America, septiembre 1979.

Sí, Martin Gardner era un ilusionista “aficionado” (ponemos la palabra entre comi-llas porque él siempre se definió como aficionado, pero es creador de muchos efectos que otros magos “profesionales” recrean) y es frecuente que en sus artículos y sus libros apa-rezcan juegos de magia. De hecho, el término matemagia, que fusiona las matemáticas con la magia, fue introducido por Gardner. Convirtió a muchos niños en matemáticos. Y prueba de ello es el conjunto de contribuciones que se presentan en este libro.

Cuando María Moreno, responsable de la Biblioteca Estímulos Matemáticos, planteó a la Real Sociedad Matemática Española unirse a la celebración del Año Gardner preparan-do un volumen dentro de esta colección que sirviera para recordar a Martin Gardner y que los más jóvenes conocieran su trabajo, la idea fue acogida favorablemente. Tras ello con-tactó conmigo para que me hiciera cargo de coordinar el volumen, me sentí honrado y acepté con gusto. El siguiente paso era elaborar una lista de posibles autores, pensando en aquellos niños que leían a Gardner y mágicamente se convirtieron en matemáticos (tras cinco años de estudio en la universidad).

Normalmente, cuando se hacen propuestas de este tipo hay una gran parte de los autores que, por diferentes motivos, rechazan participar. En esta ocasión ha ocurrido lo contrario, la gran mayoría de los compañeros a los que ofrecimos participar en el libro aceptaron de buena gana, entre otros motivos para dejar testimonio de lo que Martin Gardner influyó en ellos.

Gardner para principiantes es un libro pensado para ser leído por estudiantes de Edu-cación Secundaria y Bachillerato por sí mismos, de modo que puedan iniciarse en la mate-mática recreativa y descubrir el gran abanico de posibilidades que, sin explicarse en las aulas por estar fuera del currículo oficial, las matemáticas elementales pueden ofrecer.

La colección de artículos que se presenta es un material valioso para profesores que complementa sus clases de matemáticas y, puesto que contienen matemáticas elementa-les, estos ejemplos y problemas se pueden utilizar en todos los niveles educativos: desde la enseñanza infantil y primaria hasta la universidad. El profesor siempre podrá adaptarlo al caso concreto de su aula.

Pero también es apto para cualquier otro lector: en él encontrará cuestiones que apa-recen frecuentemente en los libros de matemática recreativa aderezadas con propuestas novedosas. El libro contiene 14 artículos (uno por cada uno de los valores de las cartas de la baraja francesa, más un comodín). Los temas que se presentan fueron tratados por Mar-tin Gardner en sus escritos, como no podía ser de otra manera.

Una de las claves del éxito de los trabajos de Gardner era que se rodeaba de muchos matemáticos diferentes, les preguntaba cosas y hasta que él mismo no las entendía no las plasmaba en papel. Aquí hemos hecho algo parecido, pero distinto: los autores aportan su experiencia al tratar la matemática recreativa con estudiantes, exponen alguna generaliza-ción de lo que aparecía en el trabajo original de Gardner, o repasan ideas mencionadas por él, pero en un contexto diferente.

Cada dos años, en Atlanta, nos reunimos una serie de aficionados a la obra de Martin Gardner. Allí nos juntamos matemáticos, magos, aficionados a los puzles mecánicos, artis-tas que utilizan la matemática en sus obras, diseñadores de juegos... Martin asistió a los dos primeros encuentros (en 2014 se ha celebrado el undécimo) y, por problemas de salud,

dejó de asistir físicamente aunque después alguno de los participantes le visitaba en su residencia de Tulsa, le contaba qué se había planteado y le llevaba puzles, objetos curiosos y artículos preparados por los asistentes al evento.

Este original encuentro lleva el nombre de Gathering for Gardner (‘Reunión para Gardner’) y los artículos presentados en sus tres primeras ediciones dieron lugar al libro The Mathemagician and Pied Puzzler. A Collection in Tribute to Martin Gardner (A. K. Peters, 1999). Esa fue la primera obra colaborativa inspirada por el trabajo de Gardner, a la que han seguido otros libros recopilatorios, siempre en inglés.

Esta es la primera vez que aficionados a la obra de Gardner hispanohablantes se reúnen para escribir sobre su obra en matemática recreativa. En nuestro caso la reunión ha sido virtual: era muy complicado reunir presencialmente a profesionales de todos los nive-les educativos (desde maestros de primaria a catedráticos de universidad, pasando por un campeón del mundo de magia), de diferente procedencia geográfica (incluso nos ha llega-do una colaboración desde Colombia, de manos de una persona que, siendo estudiante de bachillerato, mantenía correspondencia con Gardner).

Hemos querido que todos los artículos sean autocontenidos, incluyendo las solucio-nes a los problemas que se plantean en ellos. También hemos pretendido que tengan que ver con los temas que trató Martin Gardner y que sirvan para fomentar nuevas vocaciones matemáticas, ofreciendo un primer contacto con esta fascinante rama de la matemática.

Como los tiempos cambian, no nos hemos quedado en utilizar únicamente el papel como soporte, sino que también hemos incluido enlaces a material multimedia, como ví-deos, donde se puede apreciar mucho mejor la potencia de un juego de magia o las mara-villas geométricas y matemáticas que ocurren al jugar con pompas de jabón.

Los autores de estos artículos son profesionales de las matemáticas y de su divulga-ción; se les encuentra a menudo en los medios o en la red y algunos de esos enlaces os permitirán verlos en acción. También muchas veces podréis disfrutar in situ de sus confe-rencias. Afortunadamente, cada vez se hacen más eventos de divulgación matemática y es más sencillo acceder a los autores. De hecho, cada año desde 2010, en torno al 21 de octu-bre (día en el que nació Gardner), se organizan encuentros Gathering for Gardner Celebra-tion of Mind en muchos lugares del mundo. Es una buena oportunidad para que los aficio-nados a este autor se conozcan.

Este es un libro para leer, pero también para tocar. Al igual que Gardner en la colum-na de “Juegos Matemáticos”, que tanta satisfacción ha dado a los aficionados a la matemá-tica recreativa, comenzaremos haciendo flexágonos y estudiando sus propiedades. Si quieres, en un primer momento, puedes simplemente leer y no hacer las construcciones geométricas que se proponen en el capítulo, pero lo pasarás mucho mejor trabajando las actividades que en él aparecen.

Con los capítulos dedicados a juegos o problemas ocurre algo parecido: es muy importan-te que pienses en el problema antes de ver la solución, que practiques un determinado juego o que cojas una baraja de cartas para introducirte en el mundo del ilusionismo matemático.

Fernando Blasco, profesor de Matemática Aplicada en la Universidad Politécnica de Madrid.

Las sin cuenta caras de un papel

Habría unos 50 magos, aproximadamente, haciendo trucos. Uno de ellos me intrigó especialmente con un hexaflexágono, una tira de papel doblada en forma hexago-nal que se da la vuelta al apretar desde dos lados.

Martin Gardner

Lo más común de toda historia es que tenga un principio y un final, pero la que vas a leer a continuación tiene dos principios y ningún final.

Todo comenzó durante el otoño de 1939, cuando el joven matemático inglés Arthur Sto-ne, recién llegado a la Universidad de Princeton como estudiante de doctorado (quizá siguien-do los pasos del gran matemático Paul Erd˝os), descubrió que el tamaño de los folios utilizados en Estados Unidos era mayor que el de la carpeta que acababa de traer desde Inglaterra.

Entonces se dedicó a cortar los folios para que cupieran en la carpeta y a juguetear con las tiras de papel sobrantes. Al plegar las tiras de papel en ángulos de 600, se iban formando triángulos equiláteros, los cuales, dispuestos adecuadamente, daban lugar a hexágonos regulares, como muestra la secuencia de imágenes adjunta (más adelante te explicaré con detalle este proceso).

Gardner para principiantes

Figura 1.1.a

Figura 1.1.b

Figura 1.1.c Figura 1.1.d Figura 1.1.e

De forma casual descubrió una figura que resultó particularmente intrigante: algu-nos de los hexágonos podían flexionarse ofreciendo a la vista, de forma cíclica y a modo de caleidoscopio, varias combinaciones distintas de anversos y reversos (en lugar de las dos caras que son habituales en una hoja de papel). Inmediatamente se lo comentó a varios compañeros del Departamento de Matemáticas de Princeton, quienes bautizaron estas fi-guras con el nombre de flexágonos.

De la noche a la mañana, el recién llegado se convirtió en el centro de atención de un pequeño grupo de estudiantes que estaban fascinados por las matemáticas recreativas. Entre ellos se encontraban Richard Feynman, que llegó a ser Premio Nobel de Física en

Las sin cuenta caras de un papel

1965, Bryant Tuckerman, quien desarrolló un método topológico que permitiría descu-brir todas las caras de un flexágono, y John Tukey, uno de los grandes talentos de la esta-dística del siglo xx.

Su interés les llevó a crear una asociación, que llamaron Princeton Flexagon Commit-tee, y a escribir un documento, que nunca fue publicado, con el resultado de sus investiga-ciones. Ese documento, en caso de haber existido, habría incluido los llamados diagramas de Feynman y los ciclos de Tuckerman, esquemas visuales que permiten saber el orden en que se recorren todas las caras de un flexágono y que más tarde se aplicarían a otros pro-blemas de teoría de grafos.

La historia podría haber terminado entonces porque la Segunda Guerra Mundial hizo que los miembros del grupo tomaran rumbos diferentes. Sin embargo no fue así y en 1947 vuelve a empezar: Martin Gardner se trasladó de Chicago, en cuya universidad se había graduado como filósofo, a Nueva York, tratando de ganarse la vida como escritor.

Como todo buen aficionado a la magia lo primero que hizo fue ponerse en contacto con los magos del lugar y empezó a reunirse con ellos, bien en la mítica tienda de magia de Lou Tannen (la más antigua de Nueva York) o en el apartamento de Bruce Elliott, que en esos momentos era el editor de The Phoenix, una destacada revista de magia en la que Martin Gardner realizaba colaboraciones periódicas. Allí vio por primera vez esas misterio-sas figuras con más caras de lo habitual y quedó fascinado por su magia.

El impacto que los flexágonos produjeron en la mente de Martin debió de ser tremen-do. De hecho, su afán por saber más de los hexaflexágonos le condujo a Princeton, pues había oído que habían sido inventados por unos estudiantes de matemáticas de dicha uni-versidad.

Con la ilusión de difundir sus pequeñas investigaciones sobre los hexaflexágonos, presentó su artículo divulgativo a la revista Scientific American, publicándose en diciembre de 1956 bajo el escueto título “Flexágonos” (posteriormente aparece en el primer capítulo del libro Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions, editado por Simon & Schuster en 1959). No fue su primera aportación a la revista, pues en 1952 ya les había vendido su primer artículo titulado “Logic Machines” en el que incluía una ingeniosa máquina de pa-pel que se podía recortar y utilizar para resolver silogismos lógicos.

El artículo sobre los hexaflexágonos contenía de forma sucinta los principales descu-brimientos del equipo de Princeton, pero por la claridad de su redacción resultaba tremenda-mente informativo y sugerente. El responsable de la revista, Gerard Piel, y el editor, Dennis Flanagan, después de leerlo y conocer el eco que había tenido dicho artículo entre lectores de ámbitos muy variados, invitaron a Martin a dirigir la sección de juegos matemáticos.

Con este artículo inició una serie de trabajos relacionados con la papiroflexia: en ju-nio de 1957 publicó un artículo sobre las bandas de Möbius y en mayo de 1958 otro sobre los tetraflexágonos. El primer artículo sobre origami no apareció hasta julio de 1959. Curio-samente, Russell Rogers y Leonard D’Andrea habían patentado en 1955 un hexaflexágo-no (US Patent 2 883 195) bajo el nombre changeable amusement devices and the like.

Ahora ya sabes que un flexágono es un polígono que tiene varias caras (patrones dis-tintos en su anverso y en su reverso). La palabra procede de la contracción entre flex-ible y flex-ágono, aunque en la actualidad se aplica a todo tipo de polígonos. Así, para distinguir

Gardner para principiantes

un flexágono de otro debemos especificar la forma del polígono y el número de caras que tiene. Esto lo haremos usando dos prefijos: el primero para indicar el número de caras y el segundo para indicar la forma del polígono. ¿Sabes entonces qué es un tritetraflexágono? Cierto, un polígono de cuatro (tetra-) lados que tiene tres (tri-) caras. ¿Y un dodecahexaflexá-gono? Muy bien, un polígono de seis (hexa-) lados que tiene doce (dodeca-) caras.

¿Quieres aprender a construir flexágonos? Te mostraré un par de ejemplos sencillos y te indicaré lugares web que puedes visitar para encontrar multitud de nuevas figuras. Antes de empezar, te propongo que pienses estas dos cuestiones:

Cómo tienes que doblar una tira de papel para conseguir una sucesión de triángu-los equiláteros.

Cuántos triángulos equiláteros necesitas para conseguir la forma de un hexágono.

Te daré una pista visual para responder a la primera cuestión: si doblas longitudinal-mente la tira de papel marcando ligeramente la línea central, luego doblas la esquina del papel para hacer coincidir el vértice inferior con un punto de esa línea (como se ilustra en la figura 1.2) y recortas ese trozo sobrante de papel, ya tienes el primer lado del primer triángulo equilátero. ¿Sabes por qué?

Figura 1.2

I. Trihexaflexágono: es el más sencillo y el primero que construyó Arthur Stone. A pesar de su simplicidad, presenta algunas características que lo hacen interesante y original.

Antes de construirlo, hagamos algunas operaciones: si va a tener forma hexagonal y se podrán ver tres caras diferentes, harán falta 6 ⋅ 3 = 18 triángulos equiláteros.

Dobla una tira de papel formando diez triángulos equiláteros, que serán 20 si contamos los que hay en la parte posterior del papel, de los cuales utilizaremos dos para pegarlos entre sí. Dobla varias veces por los lados comunes de los triángulos para facilitar el plegado final.

Para seguir el proceso, observa de nuevo la secuencia de imágenes de la figura 1.1. Los números impresos te permitirán comprobar si tu resultado coincide con las imágenes:

Dobla la parte derecha sobre la izquierda por la línea indicada en la figura 1.1.a.

Dobla la parte superior sobre la inferior por la línea indicada en la figura 1.1.b.

Pasa la pestaña sombreada hacia delante ocultando el número 8 de la figura 1.1.c.

Pega los dos triángulos sombreados de la figura 1.1.d.

Has conseguido un hexágono regular, como el de la figura 1.1.e. Para comprobar que tiene tres caras, dibuja todos los triángulos de la cara delantera con un mismo color y los de la cara trasera con otro color.

Despliega la figura como te explicaré a continuación hasta que encuentres una cara en blanco. Dibuja todos sus triángulos con un tercer color. Sucesivos pliegues irán mostrando las tres caras de forma secuencial.

Las sin cuenta caras de un papel

Una vez construido, necesitas aprender a realizar las flexiones que permitan dejar a la vista la cara oculta. Para ello debes hacer un doblez tipo monte, como dirían los expertos en origami, entre dos triángulos adyacentes del hexágono y pinzar con dos dedos dicho doblez. Con la otra mano, trata de abrir el hexágono desde su centro hacia la parte opuesta al lado pinzado. Si lo consigues, la figura se abrirá como una flor y se formará un hexágono mostrando una nueva cara del flexágono. No vale pinzar por cualquier sitio: solo por los lados donde el hexágono tiene dos capas, marcadas con líneas continuas en la figura 1.1.e. Cuando lo hayas conseguido por primera vez, ya será fácil repetir el proceso.

¿Ya has comprobado que tu flexágono tiene tres caras? ¡Pues ahora te voy a demostrar que tiene seis! Construye otro modelo a partir de la figura siguiente:

Figura 1.3.a. Parte delantera.

Figura 1.3.b. Parte trasera.

En este caso te muestro las dos caras de la tira de papel, donde se indican los dibujos que debes realizar. Así pues, recorta una tira de papel formada por diez triángulos equiláteros, haz los dibujos que se muestran en la figura 1.3.a, gira el papel longitudinalmente y dibuja las imágenes que se muestran en la figura 1.3.b.

A continuación, realiza el proceso de doblar y pegar como has aprendido para construir el trihexaflexágono. En este caso, en vez de observar los colores de las caras, te fijarás en las imágenes que aparecen rodeando el centro del hexágono. Mediante el proceso de flexión que has aprendido, conseguirás sin mucha dificultad las seis configuraciones mostradas en la figura 1.4:

Figura 1.4

¿Así que tiene seis caras? Bueno, en realidad el trihexaflexágono es un ejemplo de banda de Möbius, que solo tiene una cara.

Gardner para principiantes

(Si no sabes qué es una banda de Möbius, este es un buen momento para aprenderlo. Deja de leer este libro, abre tu navegador habitual, consulta a tu buscador de confianza, entra en algunas páginas y vuelve de nuevo a este libro.)

¿Ya estás aquí? …

Comprueba que un trihexaflexágono es una banda de Möbius dibujando cuidadosamente con un rotulador una línea que recorra el centro de una de sus caras. Cuando hayas vuelto al pun-to de partida, observarás que has recorrido la banda de papel por sus dos caras. Si fuera una banda “normal”, un recorrido por el centro de una de sus caras dejaría sin pintar la otra cara.

¿Cómo es posible que una superficie que solo tiene una cara sea a su vez una superficie con tres caras? ¿O con seis? Ya habrás comprendido que se trata de conceptos distintos: la tira inicial de papel tiene dos caras, la delantera y la trasera; al plegarla y pegar sus extremos, se ha converti-do en una banda de Möbius, de modo que tiene solo una cara; al flexionar el hexágono, quedan a la vista tres conjuntos diferentes de triángulos; al dibujar en los vértices figuras diferentes (corazones, picas, etc.), durante el proceso de flexión esas figuras van cambiando de posición dando la impresión de mostrarse seis caras diferentes, aunque solo cambia la orientación de los triángulos que forman el hexágono. Este es el misterio y la riqueza de los flexágonos.

II. Hexatetraflexágono: esta figura también fue estudiada por el comité que formaron Stone y sus amigos, aunque no lograron profundizar en sus propiedades. De nuevo fue Martin Gardner quien dio a conocer estas figuras rectangulares, en el número 198 (mayo de 1958) de su columna mensual en Scientific American (y posteriormente en el segundo capítulo del libro The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diver-sions, editado por Simon & Schuster en 1961).

Para construir un hexatetraflexágono, se deberán poder mostrar seis caras con cuatro cuadraditos en cada una de ellas, con lo que hará falta una hoja de papel dividida en doce cuadrados. Así pues, busca una hoja de papel cuadrada y haz los pliegues necesarios para conseguir un retículo de tamaño 4 x 4. A continuación, recorta el cuadrado central de ta-maño 2 x 2 y llegarás a la figura 1.5 siguiente:

Figura 1.5

Ahora numera todas las regiones, tanto por la cara delantera como por la trasera, de la forma que te indico en la figura 1.6 (más adelante podrás sustituir los números por colores o por tus propios diseños artísticos):

Las sin cuenta caras de un papel

Los demás símbolos que aparecen en la imagen son orientativos: te ayudarán a seguir el resto de instrucciones, las cuales irán acompañadas de imágenes para hacer todo más sencillo.

Figura 1.6.a. Parte delantera. Figura 1.6.b. Parte trasera.

Coloca el papel sobre una mesa (verás el símbolo “arriba” en la parte superior izquierda), y dobla la columna de la izquierda sobre la segunda (quedará como la figura 1.7.a), luego la fila superior sobre la segunda (el resultado quedará como la figura 1.7.b) y, por último, la co-lumna de la derecha sobre la central (quedando ahora como la figura 1.7.c).

Figura 1.7.a Figura 1.7.b Figura 1.7.c Figura 1.7.d

El plegado final es más “delicado”: se trata de doblar la fila inferior sobre la central pero, a la vez, meter la esquina inferior izquierda en el bolsillo que forman los cuadrados en don-de se encuentra (ambos marcados con el símbolo *). La idea es que el cinco vaya por enci-ma del cinco pero el dos vaya por debajo del uno. Sabrás que lo has conseguido cuando la cara delantera esté formada por unos (como en la figura 1.7.d), la trasera por cuatros y los dos asteriscos estén tocándose, aunque ocultos en el cuadradito inferior izquierdo.

Ahora llega la parte divertida, aunque no exenta de dificultades: será fácil encontrar cuatro caras del flexágono abriéndolo como si fuera un libro utilizando la línea central como bisagra. Con un poco de paciencia y habilidad, encontrarás las seis caras que puede mostrar esta superficie.

Gardner para principiantes

En las referencias dadas al final del capítulo encontrarás muchos más ejemplos de flexágo-nos, con otras formas poligonales, con multitud de diseños y otras aplicaciones originales.

¿Por qué anticipaba al principio que esta historia no tiene final? Porque, a partir del relanza-miento propiciado por los artículos de Martin Gardner, el universo de los flexágonos parece ampliarse a medida que aumenta el número de personas interesadas en su estudio. Esta ex-pansión se manifiesta no solo en la variedad de los flexágonos que se descubren sino en su relación con otras áreas de la matemática. Solo comentaré brevemente tres ejemplos.

1. Caras heptagonales o pentagonales

En el año 2000, Harold McIntosh (como se puede leer en [7] y [8]) ha descrito dos tipos de flexágonos, que no son planos, a partir de pentágonos y heptágonos, por lo que reciben el nombre de pentaflexágonos y heptaflexágonos. Comprenderás fácilmente que los triángulos que forman estos polígonos ya no serán equiláteros y que el proceso de flexión tendrá que ser más complejo que el mostrado para los cuadrados y los hexágonos. Si quieres aprender a fa-bricarlos, Scott Sherman ha recopilado toda la información sobre estos flexágonos en [12] .

2. La flexión en V

Allá por el año 1963, Bruce McLean descubrió otro método de flexión, llamado flexión en V, que permitía descubrir nuevas combinaciones de caras hexagonales en un hexaflexágo-no, diferentes de las obtenidas con la flexión por pinzamiento aquí descrita. Durante mu-cho tiempo se consideraba ilegal este movimiento pero hoy se admite que la operación conserva la figura hexagonal y con ella se consiguen multitud de combinaciones diferen-tes de las caras del flexágono, además de abrir un nuevo campo de investigación en la teoría de grafos y combinatoria. Puedes aprender la técnica leyendo el artículo de Ionut Iacob, Bruce McLean y Hua Wang titulado “The V-flex, Triangle Orientation and Catalan Numbers in Hexaflexagons”, publicado en el número especial de la revista The College Mathematics Journal, volumen 43 (2012), dedicado a Martin Gardner. También puedes ver una explicación visual visitando [10].

3. Relación con los números de Catalan

Una sucesión numérica, no tan conocida y popular como la sucesión de Fibonacci, es la llama-da sucesión de Catalan, cuyos primeros términos son 1, 2, 5, 14, 42, 132… Su primera aparición se remonta a Leonhard Euler, cuando se planteó la pregunta: ¿de cuántas formas puede dividirse un polígono convexo en triángulos solo trazando diagonales que no se corten? El propio Euler descubrió que, si el polígono tiene n lados, la solución del problema es:

Los números de esta sucesión aparecen insospechadamente en muchos problemas matemáticos, aparentemente sin relación con el propuesto por Euler. El recién citado artícu-