Mathe kompakt für Dummies
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2. Auflage 2020
© 2020 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
Original English language edition Basic Math & Pre Algebra for Dummies © 2016 by Wiley Publishing, Inc. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.
Copyright der englischsprachigen Originalausgabe Basic Math & Pre Algebra for Dummies © 2016 by Wiley Publishing, Inc. Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.
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Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.
Coverfoto: Rawf8- stock.adobe.com
Korrektur: Matthias Delbrück, Frauke Wilkens
Print ISBN: 978-3-527-71796-5
ePub ISBN: 978-3-527-82929-3
Vor langer Zeit haben Sie Zahlen geliebt. Das ist nicht etwa der Beginn eines Märchens. Vor langer Zeit haben Sie Zahlen geliebt. Erinnern Sie sich?
Lernen hat Spaß gemacht. Zahlen haben Spaß gemacht. Aber was ist passiert? Vielleicht begann der Ärger mit der schriftlichen Division. Oder Sie haben nicht verstanden, wie Brüche in Dezimalzahlen umgewandelt werden. Oder vielleicht ging es darum, dass Sie nicht mit der Prozentrechnung zurechtgekommen sind? Der Versuch, den Wert des gefürchteten x zu bestimmen? Egal wann es angefangen hat, Sie waren irgendwann der Meinung, dass die Mathematik Sie nicht mag – und Sie haben die Mathematik auch nicht mehr sehr gemocht.
Warum sind Menschen im Kindergarten oft so glücklich, zählen zu lernen, und verlassen dann die Schule in der festen Überzeugung, dass Mathematik einfach nichts für sie ist? Die Antwort auf diese Frage würde 20 Bücher dieses Umfangs füllen, aber wir können hier zumindest anfangen, das Problem zu lösen.
Ich bitte Sie ganz bescheiden, alle Vorurteile abzulegen. Denken Sie einen kurzen Moment lang an diese unschuldige Zeit – die Zeit, bevor das Wort »Mathematik« Panikattacken bei Ihnen ausgelöst hat (oder im besten Fall unbezwingbare Schläfrigkeit). In diesem Buch begleite ich Sie vom Verständnis der Grundlagen bis zu dem Punkt, an dem Sie bereit für die Algebra und damit erfolgreich sein werden.
Irgendwo auf dem Weg vom Zählen lernen bis zur Algebra erleiden viele einen großen mathematischen Zusammenbruch. Das ist etwa so, als würde Ihr Auto irgendwo im Niemandsland, fernab jeder Zivilisation plötzlich stottern und vor sich hin qualmen. Betrachten Sie dieses Buch als Ihren persönlichen Pannenhelfer und mich als Ihren freundlichen Mechaniker (der aber sehr viel billiger als der für das Auto ist!).
Dieses Buch hilft Ihnen nicht nur bei den Grundlagen der Mathematik, sondern auch, Ihre Aversion zu überwinden, die Sie möglicherweise gegenüber der Mathematik ganz allgemein haben. Ich habe die Konzepte in leicht verständliche Abschnitte zerlegt. Und weil Mathe kompakt für Dummies eine Art Nachschlagewerk ist, müssen Sie die einzelnen Kapitel oder Abschnitte auch nicht in der vorgegebenen Reihenfolge lesen – Sie brauchen nur das zu lesen, was Sie gerade benötigen. Blättern Sie also beliebig herum. Immer wenn ich ein Thema bespreche, für das Sie Informationen aus anderen Abschnitten im Buch benötigen, weise ich auf die betreffenden Abschnitte oder Kapitel hin, falls Sie Ihre Grundlagen noch einmal auffrischen möchten.
Hier zwei Ratschläge, die ich immer gebe – denken Sie daran, wenn Sie sich durch dieses Buch arbeiten:
Um Ihnen dabei zu helfen, sich in diesem Buch zurechtzufinden, verwende ich die folgenden Konventionen:
Nicht proportional
ausgezeichneter Text markiert Webadressen.Obwohl jeder Autor insgeheim (oder auch ganz offen) davon ausgeht, dass jedes Wort aus seiner Feder pures Gold ist, müssen Sie nicht jedes Wort in diesem Buch lesen, es sei denn, Sie wollen das wirklich. Sie können Einschübe jederzeit überblättern (das sind die grau unterlegten Kästen), in denen ich ab und zu kleine Exkurse mache – es sei denn, Sie finden die hier präsentierten Informationen interessant. Mit dem Symbol »Vorsicht Technik« gekennzeichnete Abschnitte sind ebenfalls für das Verständnis nicht zwingend erforderlich.
Wenn Sie vorhaben, dieses Buch zu lesen, sind Sie wahrscheinlich
Ich gehe davon aus, dass Sie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren können. Um herauszufinden, ob dieses Buch für Sie geeignet ist, führen Sie also den folgenden einfachen Test durch:
Wenn Sie diese vier Fragen beantworten können, sind Sie bereit für dieses Buch.
Dieses Buch besteht aus sechs Teilen. Sie beginnen mit der einfachsten Mathematik – mit Themen wie etwa dem Zählen und dem Zahlenstrahl – und arbeiten sich langsam vor bis zur Algebra.
In Teil I gehe ich von dem aus, was Sie bereits über Mathematik wissen, und bewege mich von dort aus langsam weiter.
In Kapitel 1 finden Sie einen kurzen Überblick darüber, was Zahlen sind und wo sie herkommen. Ich beschreibe, wie Zahlenfolgen entstehen. Ich zeige Ihnen, wie wichtig Zahlenmengen sind – beispielsweise die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen –, die Sie alle auf dem Zahlenstrahl finden. Außerdem zeige ich Ihnen, wie Sie den Zahlenstrahl für die grundlegende Arithmetik nutzen können.
In Kapitel 2 geht es um die Ziffern, die die Bausteine der Zahlen bilden, vergleichbar damit, wie Buchstaben die Bausteine der Wörter sind. Ich zeige Ihnen, wie das Zahlensystem, das Sie täglich verwenden – das hindu-arabische Zahlensystem (auch als Dezimalzahlen bezeichnet) –, die Basis 10 als Grundlage für den Aufbau von Zahlen aus Ziffern nutzt.
Kapitel 3 schließlich konzentriert sich auf die sogenannten großen vier Operationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Ich werde Ihre Kenntnisse auffrischen, wie spaltenweise mit Übertrag addiert wird, wie die Subtraktion mit Zehnerübergang funktioniert, wie große Zahlen multipliziert werden und wie die gefürchtete schriftliche Division passiert.
In Teil II gehen wir einen großen Schritt weiter, und Sie werden besser verstehen, wie die großen Vier (Operationen) funktionieren. In Kapitel 4 geht es um inverse Operationen, kommutative, assoziative und distributive Eigenschaften sowie um die Arbeit mit negativen Zahlen. Sie erfahren, wie man mit Ungleichungen arbeitet wie beispielsweise größer (>) oder kleiner (<). Außerdem stelle ich Ihnen fortgeschrittenere Operationen vor wie etwa Potenzen, Quadratwurzeln und Absolutwerte.
In Kapitel 5 geht es um drei wichtige Konzepte der Mathematik: Ausdrücke, Gleichungen und Auswertung. Das restliche Kapitel konzentriert sich auf eine wichtige Fähigkeit: die Auswertung mathematischer Ausdrücke unter Verwendung der Operatorreihenfolge. In Kapitel 6 erfahren Sie, wie Sie Textaufgaben lösen, indem Sie Wortgleichungen aufstellen.
In Kapitel 7 geht es detailliert um die Teilbarkeit. Ich verrate Ihnen ein paar Tricks, wie Sie feststellen, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist. Außerdem geht es hier um Primzahlen und um zusammengesetzte Zahlen. Kapitel 8 behandelt schließlich Faktoren und Vielfache und Sie erfahren, wie diese beiden Konzepte miteinander verbunden sind. Ich zeige Ihnen, wie Sie eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen. Außerdem erkläre ich, wie Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen finden.
In Teil III geht es darum, wie die Mathematik Teile des Ganzen darstellt, nämlich als Brüche, Dezimalzahlen und Prozentwerte, und wie diese drei Konzepte miteinander verbunden sind.
In den Kapiteln 9 und 10 geht es vor allem um Brüche und auch darum, wie diese erweitert oder gekürzt werden. Anschließend zeige ich Ihnen, wie Brüche multipliziert und dividiert werden, und eine Vielzahl von Möglichkeiten, Brüche zu addieren und zu subtrahieren. Schließlich erfahren Sie, wie Sie mit gemischten Zahlen arbeiten. In Kapitel 11 sind die Dezimalzahlen an der Reihe. Ich zeige Ihnen, wie Sie Dezimalzahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren und wie Sie Brüche in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt. Außerdem erkläre ich Ihnen, was periodische Dezimalzahlen sind.
In Kapitel 12 geht es um Prozentwerte. Ich zeige Ihnen, wie Sie Prozentwerte sowohl in Brüche als auch in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt. Anschließend geht es um verschiedene Möglichkeiten, Prozentwerte zu berechnen, unter anderem um ein einfaches, aber sehr leistungsfähiges Werkzeug, den sogenannten Prozentkreis. In Kapitel 13 schließlich erkläre ich Ihnen das Lösen von Textaufgaben mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozentwerten.
Teil IV enthält eine Vielfalt an Themen, die alle auf den Fähigkeiten aufbauen, die Sie in den ersten drei Teilen des Buches erworben haben.
In Kapitel 14 zeige ich Ihnen, wie durch die wissenschaftliche Notation sehr große und sehr kleine Zahlen sehr viel handlicher werden, indem Dezimalstellen und Zehnerpotenzen kombiniert werden. Kapitel 15 beschäftigt sich mit wichtigen Gewichts- und Maßsystemen.
In Kapitel 16 geht es um Geometrie. Hier lernen Sie verschiedene Formeln kennen, um den Umfang und die Fläche grundlegender Formen sowie die Oberfläche und den Rauminhalt einiger wichtiger Körper zu berechnen.
Kapitel 17 stellt Ihnen Graphen vor. Zuerst geht es um drei wichtige Graphentypen – Balkendiagramm, Tortendiagramm und Strichdiagramm. Außerdem stelle ich Ihnen hier die Grundlagen der wichtigsten Graphenmethode in der Mathematik vor, das kartesische Koordinatensystem. Ich zeige Ihnen, wie Sie Punkte einzeichnen, Linien ziehen und Aufgabenstellungen anhand dieses Graphensystems lösen. In Kapitel 18 sammeln Sie weitere Erfahrung beim Lösen von Textaufgaben, diesmal im Hinblick auf Geometrie sowie Gewichte und Maße.
Kapitel 19 behandelt Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie lernen den Unterschied zwischen qualitativen und quantitativen Daten kennen und erfahren, wie der Mittelwert berechnet wird. Außerdem erkläre ich Ihnen, wie Sie Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem Sie mögliche Ergebnisse und bevorzugte Ergebnisse zählen.
Teil V bietet eine Einführung in die Algebra. Kapitel 20 enthält einen ersten Überblick – hier geht es um die Grundlagen von Variablen (wie beispielsweise x). Anschließend lernen Sie Ausdrücke kennen, wobei die Kenntnisse genutzt werden, die Sie in Kapitel 5 erworben haben.
Kapitel 21 stellt verschiedene Möglichkeiten vor, algebraische Gleichungen zu lösen. In Kapitel 22 schließlich fassen wir alles zusammen: Sie lernen, Textaufgaben aus der Algebra vom Anfang bis zum Ende zu lösen.
Nur des Spaßes halber enthält dieses Buch eine Top-Ten-Liste: Die zehn wichtigsten Zahlenmengen, die Sie kennen sollten.
Im gesamten Buch verwende ich vier Symbole, die spezielle Informationen kennzeichnen:
Sie können dieses Buch auf unterschiedliche Weise nutzen. Wenn Sie es ohne unmittelbaren Zeitdruck lesen, etwa aufgrund einer Prüfung oder einer Hausaufgabe, können Sie natürlich ganz vorn anfangen und bis zum Ende lesen. Der Vorteil bei dieser Methode ist, dass Sie erkennen, wie viel Mathematik Sie bereits beherrschen – die ersten paar Kapitel werden sehr schnell gehen. Sie werden sehr viel Selbstbewusstsein sammeln, ebenso praktisches Wissen, das Ihnen später helfen kann, weil die ersten Kapitel auch die Grundlage für das Verständnis der späteren Kapitel bilden.
Es geht aber auch so: Wenn Sie vor einer speziellen Aufgabenstellung stehen, schlagen Sie genau zu dem Thema nach, um das es bei dieser Aufgabe geht. Legen Sie das Buch auf Ihren Nachttisch und lesen Sie vor dem Zubettgehen ein paar Minuten einfache Dinge aus den ersten Kapiteln. Sie werden überrascht sein, wie eine kleine Auffrischung der simpleren Dinge plötzlich auch komplexere Konzepte sehr viel einfacher macht.
Wenn Sie nicht viel Zeit haben – insbesondere wenn Sie einen Mathematikkurs absolvieren und Hilfe bei Ihren Hausaufgaben oder für eine bevorstehende Prüfung suchen –, blättern Sie direkt zu dem betreffenden Thema. Egal wo Sie das Buch öffnen, Sie finden eine gut verständliche Erklärung des jeweiligen Themas und eine Vielzahl von Hinweisen und Tricks. Lesen Sie sich die Beispiele durch und versuchen Sie, sie nachzuvollziehen, sodass Sie eine Vorlage für die Bearbeitung Ihrer eigenen Aufgaben erhalten.
Hier eine kurze Liste der Themen, die Schüler erfahrungsgemäß immer wieder brauchen:
Die meisten dieser Themen werden in den Teilen II und III beschrieben, aber sie sind grundlegend für das, was weiter hinten im Buch erklärt wird. Ganz allgemein schaffen Sie sich mit der Beschäftigung mit diesen fünf Themen eine Art Nahrungsvorrat, und wenn Sie weiter mit der Mathematik zu tun haben werden, werden Sie immer wieder davon zehren können. Sobald Sie verstanden haben, wie negative Zahlen oder Brüche addiert werden, wächst Ihr Selbstvertrauen und alles, was ich im restlichen Buch erkläre, wird Ihnen sehr viel einfacher vorkommen.
Wenn Sie irgendwo stecken bleiben, machen Sie eine Pause und sehen Sie sich das Problem später noch einmal genauer an. Sie werden feststellen, dass Ihnen die Antwort plötzlich einfällt, wenn Sie das Ganze mit erholten grauen Zellen erneut betrachten. Sollten Sie immer noch nicht weiterkommen, blättern Sie ein paar Seiten zurück und lesen Sie vom Anfang des Abschnitts oder des Kapitels an noch einmal nach. Manchmal ist es am besten, ein paar einfachere Beispiele nachzuvollziehen, um sich auf komplexere Aufgabenstellungen vorzubereiten.
Teil I