s’écrit sous la forme 
où a et b sont des entiers rationnels. Trouver les nombres a et b.© 2019, Christian Valéry Nguembou Tagne
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Éditeur : BoD - Books on Demand GmbH,
12/14 rond-point des Champs Élysés, 75008 Paris
Impression : BoD - Books on Demand GmbH, Allemagne
ISBN : 978-2-322-22599-6
Dépôt légal : novembre 2019
À la mémoire de
KAMTO MEBUGAIN, alias WABO TAFO
(1870 – 1950),
notable de Bayangam
« Le feu du bois que l’on a soi-même abattu et débité
semble plus chaud qu’aucun autre feu ... »
BIRAGO DIOP
Les Contes d’Amadou Koumba
Cet ouvrage est une chronique de l’épreuve de mathématiques au B.E.P.C. (Brevet d’Études du Premier Cycle) du Cameroun, pour les onze sessions de 2009 à 2019.
L’ouvrage est composé de onze chapitres correspondants aux sessions. Chaque chapitre se décline en deux sections. La première section reprend l’énoncé original du sujet. La deuxième section propose dans la foulée un corrigé dudit sujet.
Traditionnellement, les annales sont des outils mis à la disposition des apprenants pour la préparation aux épreuves des examens officiels des divers ordres d’enseignement. Le présent texte s’inscrit dans cette tradition didactique. En effet, il présente des corrigés détaillés, et un index thématique pour une lecture ciblée et un apprentissage méthodique.
En plus d’être des textes didactiques, les annales sont manifestement des documents d’archives. Cette dimension historique a été un moteur de la rédaction de ce livre, qui est le troisième opus d’une collection visant la constitution d’archives pour le présent et la postérité.
Francfort-sur-le-Main, le 19 novembre 2019
Christian V. Nguembou Tagne
formalis-mathematica.net
Le sujet comporte trois parties obligatoires A, B et C.
A. Activités numériques
I. Simplification d’un réel défini par la racine carrée.
Le réel s’écrit sous la forme où a et b sont des entiers rationnels. Trouver les nombres a et b.
II. Développement, réduction et factorisation – Équation.
Soit l’expression littérale 
(a) Développer et réduire P.
(b) Donner la forme factorisée de P.
(c) Résoudre dans R l’équation 
III. Système de deux équations à deux inconnues.
Résoudre dans R × R le système d’équations
IV. Enquête statistique sur les récoltes de planteurs.
Une enquête portant sur la récolte du café a donné le diagramme à bandes ci-dessous (voir le schéma 1.1 à la page 3), représentant le nombre de planteurs et la masse en tonnes de leurs récoltes. La production est regroupée en classes.
(a) En utilisant le schéma 1.1, trouver le nombre de planteurs interrogés.
(b) En utilisant le schéma 1.1, recopier et compléter le tableau suivant :
| Classes | [0, 10[ | [10, 20[ | [20, 30[ | [30, 40[ | [40, 50[ | [50, 60[ |
| Effectif | 14 | 12 | 30 | 10 | ||
| Fréquences en pourcentage | 14% | 18% | 30% | 10% |
(c) Combien de planteurs ont moins de 40 tonnes ?
B. Activités géométriques
I. Volume d’une pyramide régulière.
Un seul des quatre résultats suivants, (a), (b), (c) et (d), est le volume d’une pyramide régulière ABCDE à base carrée ABCD, de hauteur 4,5 cm et de côté AB = 2,5 cm.
(a) 93,75 cm.
(b) 28,125 cm.
(c) 9,375 cm.
(d) 11,25 cm.
Schéma 1.1 – Nombres de planteurs par tonnes récoltées
II. Aire d’un triangle.
Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle tel que Mes
puis Mes
et AH = 5cm, où H est le pied de la hauteur issue de A.
(a) Déterminer HC et HB.
(b) Calculer l’aire du triangle ABC.
III. Intersection de deux cercles de même rayon.
Sur la figure ci-dessous, (C) et (C′) désignent deux cercles de même rayon r = 2cm et de centres respectifs A et B, tels que 
De plus, les cercles (C) et (C′) se coupent en J et K, tandis que les droites (AB) et (JK) se coupent en O.
Répondre par vrai ou faux :
(a) Les droites (AB) et (JK) sont perpendiculaires.
(b) Le quadrilatère AKBJ est un losange.
(c) La droite (JK) est axe de symétrie pour chacun des deux cercles.
(d) Le triangle AJB est équilatéral.
C. Problème : Géométrie analytique dans le plan euclidien.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé 
1. Placer les points A(2, 1), B(−2,−2) et C(0,−3).
2. Calculer les distances d(A,B), d(A,C) et d(B,C).
3. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
4. Écrire une équation cartésienne de la droite (AB).
5. Soit f la fonction linéaire définie par f(x) = ax, où a est un nombre réel. On note (D) la droite qui représente cette fonction linéaire.
(a) Déterminer a pour que (D) soit parallèle à la droite 
d’équation 
(b) Déterminer a pour que (D) soit perpendiculaire à la droite 
6. Soit I le milieu du segment [AB].
(a) Donner les coordonnées de I.
(b) Construire le cercle circonscrit au triangle ABC.
(c) On donne Mes
Donner une mesure de l’angle au centre associé à l’angle
A. Activités numériques
Solution de l’Exercice A.I.
Pour écrire le réel 
sous la forme 
où a et b sont des entiers rationnels, nous notons tout d’abord que
Ensuite, nous remarquons que 20 = 4×5 = 22 ×5, puis
Tout compte fait,
Autrement dit, 
où a = 9 et b = −2.
Solution de l’Exercice A.II.
Soit l’expression littérale 
(a) Elle peut être développée comme suit :
En réduisant les termes, nous obtenons alors
(b) Dans l’expression de P, le terme x − 1 peut être mis en facteur. Cela donne
et, au final, la factorisation
(c) Pour chaque nombre réel x, l’égalité (x − 1)(2x + 1) = 0 équivaut à x − 1 = 0 ou 2x + 1 = 0, c’est-à-dire x = 1 ou 
L’ensemble des solutions de l’équation (x − 1)(2x + 1) = 0 est donc
Solution de l’Exercice A.III.
Pour résoudre dans R × R le système d’équations
nous pouvons procéder par substitution ou par combinaison.
MÉTHODE PAR SUBSTITUTION
Premièrement, nous utilisons la première équation pour exprimer b en fonction de a. Cette action livre
Deuxièmement, en substituant cette expression dans la seconde équation, nous obtenons
et
puis
Troisièmement, nous remplaçons cette valeur de a dans l’égalité (∗). Cela entraîne
Quatrièmement, nous vérifions que, si a = 9 et b = 27, alors
et
Par conséquent, le couple (9, 27) est l’unique solution du système (E).
MÉTHODE PAR COMBINAISON
Premièrement, pour éliminer b, dans le système (E), nous multiplions la première équation par −2 et laissons la seconde intacte. Cette action donne
La somme des deux équations ainsi obtenues est 
Deuxièmement, pour éliminer a, dans le système (E), nous multiplions la première équation par −4 et conservons la seconde. Cette opération livre
Les deux équations du système précédent ont pour somme l’équation
Ainsi, 
Troisièmement, nous vérifions que, si a = 9 et b = 27, alors
et
Le couple (9, 27) est donc la seule solution du système (E).
Solution de l’Exercice A.IV.
(a) Le schéma 1.1 à la page 3 montre clairement que les classes [0, 10[, [10, 20[, [20, 30[, [30, 40[, [40, 50[ et [50, 60[ ont pour effectifs respectifs 14, 18, 12, 16, 30 et 10. Le nombre total de planteurs interrogés est de ce fait
(b) L’effectif de chaque classe étant connu, pour compléter le tableau, il suffit de déterminer les fréquences des classes [20, 30[ et [30, 40[.
L’effectif de la classe [20, 30[ étant 12, sa fréquence est
